2 blog ilmu pelajaran: Operasi pada Himpunan

Himpunan memuat kumpulan objek – objek yang anggotanya terdefinisi dengan jelas. Perhatikan dua definisi untuk kelompok siswa dengan tinggi lebih dari 150 cm dan kelompok siswa berwajah cantik. Definisi pertama yaitu kelompok siswa dengan tinggi lebih dari 150 cm. Pernyataan tersebut memiliki definisi yang jelas. Semua siswa yang memiliki tinggi lebih dari 150 cm masuk dalam himpunan tersebut. Berikutnya, perhatikan definisi pernyataan kedua yaitu kelompok siswa berwajah cantik. Pernyataan tersebut tidak memiliki definisi yang jelas karena pengertian wajah cantik bersifat subjektif. Pernyataan pertama merupakan contoh himpunan, sedangkan definisi kedua bukan contoh himpunan. Mengapa? Alasannya ada pada pengertian himpunan. Pernyataan pertama memiliki anggota yang terdefinisi dengan jelas. Sedangkan pernyataan kedua tidak memiliki anggota dengan definisi yang jelas. Dua himpunan atau lebih ini dapat dioperasikan sehingga menghasilkan himpunan baru. Konsep ini kemudian dikenal sebagai operasi himpunan.

Dua buah bilangan dapat dilakukan operasi yang menghasilkan nilai baru. Operasi tersebut diantaranya meliputi penjumlahan (+), pengurangan (–), perkalian (×), dan pembagian ( : ). Pada dua himpunan atau lebih juga dapat dilakukan yang dapat menghasilkan nilai baru. Pengertian dari operasi himpunan adalah operasi yang dikenakan terhadap himpunan. Operasi – operasi pada himpunan meliputi gabungan, irisan, komplemen, selisih, penjumlahan/beda setangkup, dan perkalian kartesian.

Bagaimanakan aturan operas pada himpunan? Penjelasan masing – masing operasi pada himpunan dapat diberikan seperti pada bahasan di bawah.

Irisan Himpunan/Intersection ( ∩ )

Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan dengan anggota – anggota yang berada pada dua himpunan tersebut. Dalam kata lalin, anggota – anggota himpunan irisan merupakan anggota yang sama pada dua himpunan. Sebagai contoh terdapat himpunan A = {a, b, c, d, e} dan B = {a, i, u, e, o}. Ada dua anggota himpunan yang sama – sama terletak pada himpunan A dan B tersebut, yaitu a dan e. Sehingga, irisan himpunan A dan B adalah a dan e.

Simbol himpunan beririsan dinyatakan dalam notasi ∩, dibaca irisan. Notasi pembentuk himpunan untuk irisan dua himpunan A dan B dinyatakan dalam persamaan A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}.

Contoh irisan himpunan dapat dilihat seperti berikut:

A = {a, b, c, d, e}
B = {a, i, u, e, o}
A ∩ B = {a, e}

A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 3, 5, 7, 11}
A ∩ B = {2, 3, 5}

Gabungan Himpunan/ Union ( ∪ )

Operasi gabungan pada himpunan menyatakan operasi untuk menggabungkan anggota – anggota menjadi satu dalam himpunan baru. Sehingga, anggota – anggota himpunan gabungan berasal dari anggota – anggota himpunan yang dioperasikan. Jika terdapat anggota himpunan yang sama cukup dituliskan satu kali. Sebagai contoh perhatikan dua buah himpunan A dan B, dengan A = {a, b, c, d, e} dan B = {a, i, u, e, o}. Ada dua anggota himpunan yang sama – sama terletak pada himpunan A dan B tersebut, yaitu a dan e. Namun, pada operasi gabungan himpunan, sobat idschool hanya perlu menuliskan sekali anggota himpunan yang sama. Jadi, anggota – anggota pada himpunan gabungan A dan B adalah {a, b, c, d, e, i, u, o}.

Simbol untuk menyatakan gabungan himpunan adalah notasi ∪ (union), dibaca gabungan. Notasi pembentuk himpunan untuk gabungan dua himpunan A dan B dinyatakan dalam persamaan A ∪ B = {x|x ϵ A atau x ϵ B}.

Contoh soal operasi gabungan himpunan diberikan seperti berikut.

A = {a, b, c, d, e}
B = {a, i, u, e, o}
A ∪ B = {a, b, c, d, e, g, k}

A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 3, 5, 7, 11}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 11}

Selisih Himpunan/Difference ( – )

Selisih dua himpunan meliputi semua anggota himpunan yang tidak dimiliki himpunan lain. Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda kurang ( – ). Notasi pembangkit untuk selisih dua himpunan A dan B ditulis dalam persamaan A – B = {x|x ϵ A atau x ∉ B}.

Pada selisih himpunan A – B, himpunan barunya berupa semua anggota A yang tidak ada pada B. Sedangkan selisih himpunan B – A, himpunan baru yang dihasilkan sama dengan anggota himpunan B yang tidak ada pada A. Sebagai contoh, diketahui dua buah himpunan A = {a, b, c, d, e} dan B = {a, i, u, e, o}. Selisih dua himpunan A – B = {b, c, d} dan B – A = {i, u, o}.

Contoh operasi selisih himpunan:

A = {a, b, c, d, e}
B = {a, i, u, e, o}
A – B = {b, c, d}

A = {a, b, c, d, e}
B = {a, i, u, e, o}
B – A = {i, u, o}

A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 3, 5, 7, 11}
A – B = {1, 4}

Komplemen Himpunan ( A^C )

Komplemen dari sebuah himpunan A adalah himpunan semua anggota himpunan semesta (S) yang tidak ada di himpunan A. Himpunan semesta memuat semua anggota dari himpunan yang dibicarakan. Pada pembicaraan bilangan ganjil, maka himpunan semesta mencakup bilangan ganjil yang tak berhingga. Pada bahasan lima bilangan ganjil pertama maka himpunan semesta memiliki anggota – anggota 1, 3, 5, 7, dan 9.

Notasi komplemen suatu himpunan dinyatakan dalam pangkat C yang melekat pada himpunan terkait. Misalkan diketahui sebuah himpunan A, komplemen dari himpunan A dinyatakan dalam notasi A^C (dibaca A komplemen). Notasi pembangkit untuk Untuk menyatakan pernyataan suatu himpunan komplemen adalah A^c = {x| x ∈ S tetapi x ∉ A}.

Contoh soal komplemen dari suatu himpunan:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 3, 5, 7, 9}
A^C = {2, 4, 6, 8, 10}

S = {bilangan ganjil kurang dari 20}
A= {1, 3, …, 9}
A^c = {11, 13, 15, 17, 19}

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A = {1, 3, 5, 7}
A^c = {2,4,6}

Beda Setangkup (Symmetric Difference)

Operasi himpunan beda setangkup menghasilkan anggota – anggota himpunan yang dioperasikan tetapi tidak termasuk anggota irisannya. Misalkan pada operasi beda setangkup untuk himpunan A dan B akan menghasilkan suatu himpunan yang anggotanya ada pada himpunan A atau B tetapi tidak pada keduanya.

Sebagai contoh diketahui dua buah himpunan A = {a, b, c, d, e} dan B = {a, i, u, e, o}. Anggota – anggota himpunan A dan B yang sama meliputi a dan e (irisan kedua himpunan). Hasil operasi beda setangkup merupakan anggota himpunan A atau B tetapi tidak keduanya. Jadi, himpunan bari hasil operasi himpunan beda setangkup untuk himpunan A dan B adalah b, c, d, i, u, dan o.

Notasi operator beda setangkup dinyatakan dalam sebuah tanda plus dalam sebuah lingkaran, ⊕. Notasi pembangkit untuk beda setangkup adalah A ⊕ B = {x | x ∈ A tetapi x ∉ B dan x ∈ B tetapi x ∉ A}. Pernyataan tersebut sama dengan A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) atau sama dengan A ⊕ B = (A – B) ∪ (B – A).

Contoh operasi himpunan beda setangkup:

A = {a, b, c, d, e}
B = {a, i, u, e, o}
A ⊕ B = {b, c, d, i, u, o}

A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 3, 5, 7, 11}
A ⊕ B = {1, 4, 7, 11}

Operasi himpunan beda setangkup memenuhi hukum komutatif (A + B = B + A) dan asosiatif: (A + B) + C = A + (B + C).

Perkalian Kartesian (Cartesian Product)

Operasi himpunan untuk perkalian kartesian berupa pasangan berurutan. Misalnya pada perkalian kartesian dari himpunan A dan B, hasil himpunan barunya adalah semua pasangan berurut yang dibentuk dari anggota – angota himpunan A dan B. Simbol notasi perkalian kartesian himpunan A dan B dinyatana melalui A × B.

Sebagai contoh, diketahui dua buah himpunan A = {1, 2, 3} dan B ={a, b}. Himpunan hasil operasi perkalian kartesiannya adalah A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}.

Notasi pembangkit untuk himpunan hasil operasi perkalian kartesian untuk himpunan A dan B adalah A × B = {(a, b) | a ∊ A dan b ∊ B}.

Contoh operasi himpunan untuk perkalian kartesian:

A = {1, 2, 3}
B = {7, 9}
A × B = {(1,7), (1,9), (2,7), (2,9), (3,7), (3,9)}

F = {bakso, soto, mie ayam}
D = {es teh, es jeruk, kopi}
F × D = {(bakso, es teh), (bakso, es jeruk), (bakso, kopi), (soto, es teh), (soto, es jeruk), (soto, kopi), (mie ayam, es teh), (mie ayam, es jeruk), (mie ayam, kopi)}

Pada operasi perkalian kartesian tidak berlaku A × B = B × A, karena anggota (a, b) tidak sama dengan (b, a).

Demikianlah tadi ulasan materi operasi pada himpunan yang meliputi irisan, gabungan, selisih, komplemen, beda setangkup, dan kartesian. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Sumber gini.com