Cara Menentukan Banyaknya Anggota Himpunan Bagian

Himpunan adalah kumpulan objek – objek yang berbeda yang disebut elemen, unsur, atau anggota. Suatu himpunan memiliki syarat keanggotaan yang terdefinisi dengan jelas. Contohnya pada himpunan hewan berkaki empat. Dalam himpunan yang telah didefinisikan tersebut dapat meliputi kambing, sapi, kerbau, singa, harimau, dan hewan dengan kaki sebanyak empat lainnya. Contoh lainnya pada definisi himpunan 5 bilangan prima pertama. Himpunan tersebut jelas terdefinisi untuk anggota himpunan yang terdiri dari bilangan 2, 3, 5, 7, dan 11. Jika syarat keanggotaan tidak terdefinisi dengan jelas maka tidak bisa disebut dengan himpunan. Contoh sebuah definisi yang bukan himpunan adalah himpunan perempuan cantik di Jakarta. Sebuah himpunan dengan n anggota memiliki banyaknya anggota himpunan x anggota, dengan x lebih dari. Apa itu anggota himpunan bagian? Bagaimana cara menentukan banyaknya anggota himpunan bagian?

Sebelumnya, ingat kembali materi tentang himpunan. Sebuah himpunan dinyatakan dengan menggunakan kurung kurawal { } dan diberi nama dengan huruf kapital. Sedangkan anggota himpunan dituliskan di dalam tanda kurung kurawal menggunakan huruf kecil. Contohnya adalah himpunan A dengan anggota huruf vokal. Untuk menyatakan tersebut dapat dituliskan dengan mendaftar anggota – anggota himpunan A, yaitu A = {a, i, u, e, o}. Notasi untuk menyatakan sebuah anggota merupakan bagian dari suatu himpunan adalah ∊. Misalkan terdapat sebuah himpunan A dan a merupakan anggota dari A dan b bukan merupakan anggota dari a. Untuk menyatakan kalimat tersebut dalam notasi himpunan adalah a ∊ A. Sedangkan untuk menyatakan b yang bukan anggota himpunan A adalah b ∉ A.

Seperti yang telah sedikit disinggung sebelumnya bahwa sebuah himpunan memuat himpunan bagian. Sobat idschool dapat mencari tahu jawaban apa itu anggota himpuan bagian? Dan bagaimana cara menentukan banyaknya anggota himpunan bagian melalui ulasan di bawah.

Baca Juga: Himpunan dan Diagram Venn

Himpunan Bagian

Himpunan bagian atau yang sering disebut subset adalah suatu himpunan yang termuat dalam himpunan lain yang cakupannya lebih luas. Himpunan A merupakan himpunan bagian B bila himpunan A termuat di dalam B. Simbol himpunan bagian dinyatakan dalam notasi ⊂ atau ⊆. Notasi untuk menyatakan himpunan A adalah subset atau himpunan bagian dari (atau termasuk ke dalam) B adalah A ⊂ B atau A ⊆ B.

A ⊂ B berbeda dengan A ⊆ B. Pada A ⊂ B memiliki pengertian A dalah himpunan bagian dari B tetapi A ≠ B. Sedangkan A ⊆ B memiliki pengertian bahwa A adalah himpunan bagian/subset dari B yang memungkinkan A = B.

Dua buah himpunan A dan B dapat memenuhi A = B jika dan jika setiap anggota A merupakan anggota B dan anggota B merupakan anggota A. Dalam kata lain, pernyataan tersebut sama dengan A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Selain kondisi tersebut maka A ≠ B.

Setiap himpunan selalu mempunyai himpunan kosong dan himpunan yang persis sama dengan himpunan itu sendiri sebagai himpunan bagiannya. Himpunan bagian juga memuat kombinasi anggota – anggotanya yang banyaknya adalah 1, 2, …, (n – 1) anggota.

Misalnya pada sebuah himpunan H dengan anggota himpunan lima bilangan prima pertama. Diketahui bahwa H = {2, 3, 5, 7, 11}. Himpunan tersebut memiliki anggota himpunan bagian sebanyak 32. Anggota himpunan bagian tersebut meliputi himpunan bagian yang memuat sebanyak 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 anggota. Daftar anggota himpunan bagian H terdiri dari {{ }, {2}, {3}, {5}, {7}, {11}, {2, 3}, {2, 5}, {2, 7}, {2, 11}, {3, 5}, {3, 7}, {3, 11}, {5, 7}, {5, 11}, {7, 11}, {2, 3, 5}, {2, 3, 7}, {2, 3, 11}, {2, 5, 7}, {2, 5, 11}, {2, 7, 11}, {3, 5, 7}, {3, 5, 11}, {3, 7, 11}, {5, 7, 11}, {2, 3, 5, 7}, {2, 3, 5, 11}, {3, 5, 7, 11}, {2, 5, 7, 11}, {2, 3, 7, 11}, {2, 3, 5, 7, 11} }

Sejumlah anggota himpunan bagian sebanyak 32. Berikutnya adalah ulasan cara menentukan banyak anggota himpunan bagian.

Baca Juga: Menentukan Daerah Asal (Domain), Daerah Kawan (Kodomain), dan Daerah Hasil (Range)

Banyaknya Anggota Himpunan Bagian

Ingat kembali sebuah himpunan H yang dijadikan contoh sebelumnya, H = {2, 3, 5, 7, 11}. Himpunan H terdiri dari 5 anggota. Banyaknya anggota himpunan bagian dari himpunan H dapat diperoleh melalui rumus 2⁵ yaitu sebanyak 32. Secara umum untuk sebuah himpunan dengan n anggota, banyaknya anggota himpunan dapat diketahui melalui rumus 2ⁿ.

Banyaknya himpunan bagian untuk himpunan H dengan 1, 2, 3, 4, dan 5 anggota diberikan seperti daftar berikut.

• Himpunan bagian H dengan 0 anggota (himpunan kosong) ada sebanyak 1, yaitu himpunan kosong { }
• Himpunan H dengan 1 anggota ada sebanyak 5 yaitu {{2}, {3}, {5}, {7}, {11}}
• Himpunan bagian H dengan 2 anggota ada sebanyak 10:
  {{2, 3}, {2, 5}, {2, 7}, {2, 11}, {3, 5}, {3, 7}, {3, 11}, {5, 7}, {5, 11}, {7, 11}}
• Himpunan bagian H dengan 3 anggota ada sebanyak 10:
  {{2, 3, 5}, {2, 3, 7}, {2, 3, 11}, {2, 5, 7}, {2, 5, 11}, {2, 7, 11}, {3, 5, 7}, {3, 5, 11}, {3, 7, 11}, {5, 7, 11}}
• Himpunan bagian H dengan 4 anggota ada sebanyak 5:
  {{2, 3, 5, 7}, {2, 3, 5, 11}, {3, 5, 7, 11}, {2, 5, 7, 11}, {2, 3, 7, 11}}
• Himpunan bagian H dengan 5 anggota ada sebanyak 1: {(2, 3, 5, 7, 11)}

Cara mengetahui banyaknya anggota himpunan dengan cara mendaftar seperti di atas tentu tidak akan menguntungkan. Ada cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan banyaknya anggota himpunan bagian. Cara kedua ini bisa dibilang sebagai cara cepat menentukan banyaknya anggota himpunan bagian. Cara cepat ini menggunakan bantuan segitiga pascal. Sebagai contoh gunakan kembali himpunan H yang terdiri dari 5 anggota, H = {2, 3, 5, 7, 11}.

Baca Juga: Cara Menentukan Banyaknya Pemetaan

Contoh Soal dan Pembahasan

Sobat idschool dapat melatih kemampuan pemahaman materi himpunan bagian pada beberapa contoh soal di bawah. Contoh soal yang diberikan sudah dilengkapi dengan pembahasan. Gunakan pembahasan soal sebagai tolak ukur keberhasilan soobat idschool dalam mengerjakan soal.

Contoh 1 – Menentukan Anggota Himpunan Bagian dengan x Anggota dari n Anggota

P = {x | x ≤ 13, x ∊ bilangan prima}
Banyaknya himpunan bagian dari P yang mempunyai 2 anggota adalah ….
A.   25
B.   15
C.   12
D.   7

Pembahsan:

P = {x | x ≤ 13, x ∊ bilangan prima}
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13} → himpunan dengan 6 anggota

Segitiga pascal untuk himpunan dengan 6 anggota:

                    1
               1        1
            1      2      1
         1    3       3      1
      1    4      6      4     1
   1   5    10    10     5   1
1   6   15    20     15    6  1

Berdasarkan segitiga pascal di atas, banyak himpunan bagian dari P untuk 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 anggota berturut – turut adalah 1, 6, 15, 20, 15, 15, 6, dan 1.

Jadi, banyaknya himpunan bagian dari P yang mempunyai 2 anggota adalah 15 yaitu {{2, 3}, {2, 5}, {2, 7}, {2, 11}, {2, 13}, {3, 5}, {3, 7}, {3, 11}, {3, 13}, {5, 7}, {5, 11}, {5, 13}, {7, 11}, {7, 13}, {11, 13}}.

Jawaban: B

Contoh 2 – Menentukan Banyaknya Anggota Himpunan Bagian

Jika T = {y | 20 < y < 30, y ∊ himpunan bilangan prima}, banyak himpunan bagian dari T adalah ….
A.   16
B.   8
C.   4
D.   2

Pembahasan:

T = {y | 20 < y < 30, y ∊ himpunan bilangan prima}
T = {23, 29} → banyaknya anggota: n = 2

Banyaknya anggota himpunan bagian dengan sebuah himpunan yang terdiri dari n anggota dapat dihitung menggunakan rumus 2ⁿ.

Jadi, banyaknya himpunan bagian dari T adalah 2² = 4 yaitu {Ø; 23; 29; (23, 29)}.

Jawaban: C

Demikianlan ulasan materi cara menentukan banyaknya anggota himpunan bagian x anggota dari n anggota. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Kalimat Terbuka dan Tertutup dalam Matematika

Sumber gini.com