Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari Suatu Implikasi

Pernyataan majemuk dengan kata penghubung jika … maka … dalam logika matematika disebut sebagai implikasi. Operator logika matematika untuk implikasi diberikan dalam bentuk garis lurus dengan sebuah anak panah pada ujung kanan (simbol implikasi: →). Implikasi merupakan proposisi bersyarat berbentuk jika … maka …. Sebuah pernyataan majemuk dengan implikasi akan memiliki nilai kebenaran false/salah (S) dalam satu kondisi. Kondisi tersebut adalah jika pernyataan anteseden bernilai benar dan konsekuen bernilai salah. Selain satu kondisi tersebut, nilai kebenaran suatu implikasi adalah true/benar (B). Suatu implikasi memiliki bentuk konvers, invers, dan kontraposisi. Apa saja perbedaan dari ketiga bentuk implikasi tersebut akan menjadi fokus ulasan di bawah.

Diketahui dua buah proposisi tunggal p dan q. Bentuk implikasi dari dua proposisi tersebut adalah jika p maka q. Dalam sebuah implikasi terdapat syarat cukup dan syarat perlu. Pada sebuah implikasi jika p maka q, p adalah syarat cukup bagi q, sedangkan q adalah syarat perlu bagi p. Sebagai contoh: Jika Ani kehujanan maka baju Ani menjadi basah. Penyebab baju Ani menjadi basah bisa dikarenakan banyak hal seperti tersiram air, jatuh ke selokan, berkeringat, dan lain sebagainya. Pada contoh implikasi yang diberikan, Kehujanan merupakan syarat cukup untuk baju Ani menjadi basah. Sedangkan baju Ani menjadi basah merupakan syarat perlu bagi Ani kehujanan.

Suatu implikasi jika p maka q tidak setara atau tidak ekuivalen dengan balikan implikasi jika q maka p. Perhatikan kembali sebuah contoh sederhana: Jika Ani kehujanan maka Baju Ani menjadi basah. Balikan implikasi dari contoh tersebut adalah Jika baju Ani menjadi basah maka Ani kehujanan. Dua pernyataan contoh tersebut bukan merupakan kondisi yang sama, karena bisa jadi baju Ani menjadi basah disebabkan hal lain. Dari tiga bentuk konvers, invers, dan kontraposisi terdapat kondisi yang sama dengan suatu implikasi. Bentuk yang manakah itu? Mana saja bentuk yang saling ekuivalen satu dengan yang lainnya? Untuk mengetahui bentuk mana saja yang ekuivalen dapat sobat idschool simak pada ulasan di bawah.

Konvers: q → p

Konvers dari suatu implikasi merupakan perubahan dari sistem ke sistem lainnya. Pada bahasan logika matematika, konvers dari suatu implikasi merupakan kondisi dimana anteseden dan konsekuen bertukar posisi/tempat. Sebagai contoh: diberikan sebuah implikasi jika p maka q (p → q). Konvers dari implikasi tersebut adalah jika q maka p (q → p). Kedua implikasi ini berbeda, atau tidak saling ekuivalen.

Untuk melihat perbedaan dari kedua bentuk implikasi ini perhatikan tabel kebenaran berikut.

Berdasarkan tabel kebenaran di atas, nilai kebenaran implikasi dan konvers akan berbeda. Perbedaan pertama terdapat pada saat anteseden bernilai benar (B) dan konsekuen bernilai salah (S). Perbedaan kedua terdapat pada saat anteseden bernilai salah (S) dan konsekuen bernilai salah (B).

Jadi, kesimpulan yang dapat diambil adalah implikasi tidak ekuivalen dengan konvers.

Perhatikan contoh dibawah untuk menambah pemahaman sobat idschool mengenai bentuk implikasi dan konvers.

1. Implikasi: Jika ibu guru tidak memberikan pekerjaan rumah maka murid – murid menjadi senang.
   Konvers: Jika murid – murid menjadi senang maka ibu guru tidak memberikan pekerjaan rumah.
   
   
2. Implikasi: Jika Anton bagun kesiangan maka Anton terlambat ke sekolah.
   Konvers: Jika Anton terlambat ke sekolah maka Anton bagun kesiangan.

Invers: p → q

Fungsi invers dalam matematika secara umum merupakan kebalikan aksi dari suatu fungsi. Pada logika matematika, invers dari suatu implikasi sama dengan bentuk implikasi dari ingkaran anteseden dan ingkaran konsekuen. Diketahui sebuah implikasi jika p maka q (p → q). Bentuk invers dari implikasi tersebut adalah jika bukan p maka bukan q ( p → q). Kedua bentuk implikasi ini memiliki nilai yang berbeda (tidak saling ekuivalen).

Untuk melihat perbedaan dari kedua bentuk implikasi ini perhatikan tabel kebenaran berikut.

Berdasarkan tabel kebenaran di atas, implikasi dan invers memiliki nilai kebenaran yang berbeda. Perbedaan pertama terdapat pada saat anteseden bernilai benar (B) dan konsekuen bernilai salah (S). Perbedaan kedua terdapat pada saat anteseden bernilai salah (S) dan konsekuen bernilai salah (B).

Jadi, kesimpulan yang dapat diambil adalah implikasi tidak ekuivalen dengan invers.

Perhatikan contoh dibawah untuk menambah pemahaman sobat idschool mengenai bentuk implikasi dan invers.

1. Implikasi: Jika ibu guru tidak memberikan pekerjaan rumah maka murid – murid menjadi senang.
   Invers: Jika ibu guru memberikan pekerjaan rumah maka murid – murid tidak menjadi senang.
2. Implikasi: Jika Anton bagun kesiangan maka Anton terlambat ke sekolah.
   Invers: Jika Anton tidak bagun kesiangan maka Anton tidak terlambat ke sekolah.

Kontraposisi: q → p

Bentuk kontraposisi dari suatu implikasi merupakan pembalikan bentuk inversnya. Kondisi ini sama dengan bentuk implikasi dari ingkaran konsekuen dan ingkaran antesedennya. Diketahui sebuah implikasi jika p maka q (p → q). Bentuk kontraposisi dari implikasi tersebut adalah jika bukan q maka bukan p ( q → p). Kedua bentuk implikasi ini merupakan bentuk yang ekuivalen).

Untuk melihat ke-ekuivalen dari dua bentuk implikasi ini perhatikan tabel kebenaran berikut.

Nilai kebenaran pada kolom implikasi sama dengan nilai kebenaran pada bentuk kontraposisinya. Jadi, kesimpulan yang dapat diambil adalah implikasi ekuivalen dengan invers.

Perhatikan contoh dibawah untuk menambah pemahaman sobat idschool mengenai bentuk implikasi dan invers.

1. Implikasi: Jika ibu guru tidak memberikan pekerjaan rumah maka murid – murid menjadi senang.
   Kontraposisi: Jika murid – murid tidak menjadi senang maka ibu guru memberikan pekerjaan rumah
2. Implikasi: Jika Anton bagun kesiangan maka Anton terlambat ke sekolah.
   Kontraposisi: Jika Anton tidak terlambat ke sekolah maka Anton tidak bagun kesiangan maka

Hubungan Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Nilai kebenaran suatu implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya. Implikasi tidak ekuivalen dengan bentuk konvers dan invers. Sedangkan nilai kebenaran invers suatu implikasi ekuivalen dengan bentuk konversnya.

Hubungan antara implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi ini dapat terlihat seperti diagram berikut.

Sekian ulasan materi konvers, invers, dan kontraposisi dari suatu implikasi. Memuat juga bahasan hubungan konvers, invers, dan kontraposisi pada suatu implikasi. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Logika Matematika (Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, Biimplikasi)

Sumber gini.com

Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi

Sebuah proposisi tunggal hanya dapat memiliki satu nilai kebenaran, yaitu salah (S) atau benar (B). Nilai kebenaran dari proposisi majemuk bergantung pada nilai kebenaran proposisi tunggal dan operator logikanya. Tabel kebenaran memuat nilai kebenaran proposisi majemuk untuk beberapa kombinasi nilai kebenaran proposisi. Beberapa kasus, nilai kebenaran untuk semua kombinasi nilai kebenaran proposisi tunggal menghasilkan nilai kebenaran B untuk proposisi majemuknya. Pada kasus lain, semua kombinasi nilai kebenaran dari proposisi tunggalnya akan menghasilkan semua nilai kebenaran S untuk proposisi majemuknya. Selain itu, ada juga yang mermuat nilai kebenaran B dan S untuk proposisi majemuknya. Bahasan keseragaman nilai kebenaran pada logika matematika ini sering disebut tautologi, kontradiksi, dan kontingensi.

Apa itu tautologi? Apa itu kontradiksi? Apa itu Kontingensi? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Tautologi

Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi tunggalnya. Apapun nilai kebenaran proposisi tunggalnya, baik itu benar (B) atau salah (S) akan selau menghasilkan nilai benar untuk proposisi mejemuknya. Proposisi mejemuk yang termasuk dalam tautologi dapat secara mudah dilihat melalui tabel kebenaran.

Sebagai contoh: periksa nilai kebenaran dari ekspresi logika (p ∧ q) → (p → q)!

Baca Juga: Logika Matematika (Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi)

Kontradiksi

Kontradiksi adalah suatu proposisi majemuk dengan nilai kebenaran selalu salah untuk semua kombinasi nilai kebenaran dari proposisi tunggal yang membentuknya. Dalam kata lain, kontradiksi merupakan kebalikan dari tautologi. Apapun nilai kebenaran dari proposisi tunggalnya, baik benar (B) atau salah (S), nialai kebenaran proposisi majemuknya akan salah. Proposisi majemuk yang termasuk dalam kontradiksi dapat secara mudah dilihat melalui tabel kebenaran.

Sebagai contoh: periksa nilai kebenaran dari ekspresi logika (p ∧ q) ↔ (p → q)!

Baca Juga: Cara Melengkapi Tabel Kebenaran dalam Logika Matematika

Kontingensi

Berikutnya merupakan proposisi majemuk yang tidak selalu bernilai benar dan tidak selalu bernilai salah. Proposisi majemuk ini disebut kontingensi. Kontingensi adalah suatu proposisi majemuk dengan nilai kebenaran benar (B) dan salah (S). Nilai kebenaran ini tergantung dari nilai kebenaran proposisi tunggal pembentuknya dan operator logika penghubungnya. Sama seperti kedua bahasan sebelumnya,  proposisi majemuk yang termasuk kontingensi dapat dilihat melalui tabel kebenaran.

Contoh kontingensi: periksa nilai kebenaran dari ekspresi logika (p ∧ q) ↔ p!

Sekian ulasan mengenai karakteristik dan pengertian tautologi, kontradiksi, dan kontingensi. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Kalimat Terbuka dan Tertutup

Sumber gini.com

3 Metode Penarikan Kesimpulan

Kesimpulan merupakan hasil akhir dari sebuah pemikiran. Kesimpulan juga dapat dikatakan sebagai sebuah gagasan yang tercapai pada akhir pembicaraan. Pada bahasan logika matematika, kesimpulan adalah suatu proposisi dari beberapa premis atau argumen/ide pemikiran dengan aturan – aturan yang telah ditetapkan. Penarikan kesimpulan dalam logika matematika sama dengan mendapatkan argumen yang tidak bertentangan dengan premis – premis. Kesimpulan yang sah didapatkan melalui metode penarikan kesimpulan dalam logika matematika. Apa saja ketiga metode yang digunakan dalam mendapatkan kesimpulan yang sah?

Ada 3 metode penarikan kesimpulan dalam logika matematika. Ketiga metode tersebut adalah modus ponens, modus tollens, dan silogisme. Penjelasan lebih lanjut mengenai tiga metode penarikan kesimpulan akan diulas pada masing – masing bahasan di bawah.

Modus Ponens

Penarikan kesimpulan modus ponens mengikuti aturan kesimpulan yang sah untuk jika p maka q dan p maka q harus benar. Premis pertama pada modus ponens berupa implikasi, yaitu jika p maka q, sedangkan premis kedua berupa proposisi tunggal, yaitu p. Kesimpulan yang sah dari argumen tersebut berupa proposisi tunggal, yaitu q.

Sebagai contoh: diketahui dua premis jika hari ini langit mendung maka hari ini akan hujan dan hari ini langit mendung. Premis pertama berupa proposisi majemuk dengan operator logika penghubung berupa implikasi. Premis pertama terdiri atas dua proposisi tunggal, yaitu p = hari ini langit mendung dan q = hari ini akan hujan. Premis kedua berupa sebuah proposisi tunggal, yaitu hari ini akan hujan. Kesimpulan yang sah dari argumen tersebut menurut metode penarikan kesimpulan modus ponens adalah hari ini akan hujan.

Kesimpulan yang sah pada modus ponens ini dapat dibuktikan melalui tabel kebenaran. Hasil akhir nilai kebenaran dari kesimpulan pada modus ponens berupa tautologi. Nilai kebenaran berbentuk tautologi pada kolom (p → q ∧ p) → q dapat menjadi bukti bahwa modus ponens merupakan kesimpulan yang sah/berlaku.

Baca Juga: Pengertian Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi

Modus Tollens

Kesimpulan yang sah dengan metode modus tollens menggunakan kontraposisi dari implikasi. Hasil kesimpulan merupakan penerapan dari kebenaran umum yang menyatakan bahwa jika sebuah pernyataan bernilai benar maka kontra positifnya juga benar. Diasumsikan jika p maka q (p q) bernilai benar dan diketahui ingkaran q ( q) bernilai benar. Sehingga, agar implikasi dari p dan q bernilai benar maka ingkaran p harus benar.

Sebagai contoh: diketahui dua premis jika hari ini langit mendung maka hari ini akan hujan dan hari ini tidak akan hujan. Premis pertama terdiri atas dua proposisi tunggal, yaitu p = hari ini langit mendung dan q = hari ini akan hujan. Premis kedua berupa sebuah proposisi tunggal bernilai benar, yaitu hari ini tidak akan hujan. Kesimpulan yang sah dari argumen tersebut menurut metode penarikan kesimpulan modus tollens adalah hari ini langit tidak mendung.

Bukti dari kesimpulan yang sah untuk modus tollens juga dapat dibuktikan melalui tabel kebenaran. Bukti yang benar akan menunjukkan bentuk tautologi pada kolom (p → q ∧ q) → p. Perhatikan bukti bahwa modus tollens merupakan kesimpulan yang sah/berlaku pada tabel kebenaran berikut.

Baca Juga: Logika Matematika (Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi)

Silogisme

Kesimpulan yang sah dari metode silogisme merupakan kesimpulan dari keadaan yang umum ke yang khusus. Silogisme disusun dari dua pernyataan/argumen dengan sebuah kesimpulan/konklusi. Aturan dasar penarikan kesimpulan silogisme menyatakan bahwa jika p maka q dan r, keduanya bernilai benar, maka jika p maka r juga bernilai benar.

Sebagai contoh: diketahui dua premis jika hari ini langit mendung maka hari ini akan hujan dan jika hari ini akan hujan maka Doni akan membawa payung. Premis pertama terdiri atas dua proposisi tunggal, yaitu p = hari ini langit mendung dan q = hari ini akan hujan. Premis kedua juga terdiri dari dua sebuah proposisi tunggal, yaitu hari ini akan hujan dan Doni membawa payung. Kesimpulan yang sah dari argumen tersebut menurut metode penarikan kesimpulan silogisme adalah jika hari ini langit mendung maka Doni membawa payung.

Bukti dari kesimpulan yang sah untuk silogisme juga dapat dibuktikan melalui tabel kebenaran. Bukti yang benar akan menunjukkan bentuk tautologi pada kolom [(p → q) ∧ (q → r)] → (p→r). Perhatikan bukti silogisme melalui tabel kebenaran berikut.

Baca Juga: Cara Melengkapi Tabel Kebenaran

Contoh Soal Penarikan Kesimpulan dalam Logika Matematika

Soal dapat menjadi tolak ukur pemahaman akan suatu materi. Mengerjakan soal mampu menambah pemahaman akan suatu materi. Beberapa soal berikut akan melatih kemampuan sobat idschool dalam memahami materi penarikan kesimpulan.

Contoh 1 – Soal Penarikan Kesimpulan

Diketahui premis – premis sebagai berikut.

1. Jika Siti sakit maka dia pergi ke dokter
2. Jika Siti pergi ke dokter maka dia diberi obat

Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi di atas adalah ….
A.   Jika Siti sakit maka Siti pergi ke dokter dan diberi obat
B.   Jika Siti sakit dan dia pergi ke dokter maka Siti diberi obat
C.   Jika Siti sakit maka Siti diberi obat
D.   Siti sakit dan pergi ke dokter dan diberi obat
E.   Siti sakit dan pergi ke dokter atau diberi obat

Pembahasan:

Misalkan:

• p = Siti sakit
• q = Siti pergi ke dokter
• r  = Siti diberi obat

Penarikan kesimpulan dari arugumen pada soal dapat menggunakan penarikan kesimpula sillogisme.

Premis 1:    p  ⇒ q
Premis 2:   q  ⇒ r
—————-
∴      p ⇒ r

Jadi, kesimpulan yang sah dari argumentasi pada soal adalah jika siti sakit maka siti diberi obat.

Jawaban: C

Contoh 2 – Soal Penarikan Kesimpulan

Ditentukan premis – premis sebagai berikut:

1. Jika Biden makan emping maka penyakitnya kambuh.
2. Jika penyakitnya kambuh maka Biden pergi ke dokter.

Negasi dari penarikan kesimpulan yang sah dari kedua pressmis tersebut adalah ….
A.   Jika Biden makan emping maka ia pergi ke dokter.
B.   Jika Biden tidak makan emping maka ia pergi k e dokter
C.   Jika Biden tidak makan emping maka ia tidak pergi ke dokter
D.   Biden makan emping dan ia tidak pergi ke dokter
E.   Biden tidak makan emping dan ia tidak pergi ke dokter

Pembahasan:

Misalkan:

• p = Biden makan emping
• q = Biden penyakitnya kambuh
• r = Biden pergi ke dokter

Penarikan kesimpulan dari arugumen pada soal dapat menggunakan penarikan kesimpula sillogisme.

Premis 1:    p  ⇒ q
Premis 2:   q  ⇒ r
—————-
∴      p ⇒ r

Ingkaran dari p ⇒ r: (p ⇒ r) = p ∧ r:

Jadi, kesimpulan yang sah dari argumentasi pada soal adalah Biden makan emping dan ia tidak pergi ke dokter.

Jawaban: C

Contoh 3 – Soal Penarikan Kesimpulan

Ditentukan premis – premis sebagai berikut:

1. Jika Jono naik bis maka ia terlambat masuk sekolah.
2. Jono tidak terlambat masuk sekolah.

Ingkaran dari kesimpulan yang sah adalah ….
A.   Jono tidak naik bis
B.   Jono naik bis
C.   Jono terlambat masuk sekolah
D.   Jono naik bis dan ia tidak terlambat masuk sekolah
E.   Jono tidak naik bis dan ia terlambat masuk sekolah

Pembahasan:

Misalkan:

• p = Jono naik bis
• q = ia terlambat masuk sekolah

Penarikan kesimpulan dari arugumen pada soal dapat menggunakan penarikan kesimpulan metode modus tollens.

Premis 1:   p  ⇒ q
Premis 2:    q
—————-
∴ p

Ingkaran p: ( p) = p

Jadi, kesimpulan yang sah dari argumentasi pada soal adalah Jono naik bis.

Jawaban: C

Demikianlah ulasan materi 3 metode penarikan kesimpulan dalam logika matematika. Ketiga metode tersebut meliputi modus ponens, modus tollens, dan silogisme. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari Suatu Implikasi

Sumber gini.com

Negasi Pernyataan Majemuk (Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi)

Negasi atau ingkaran dalam bahasan logika matematika memiliki makna kebalikan dari pernyataan awal. Karakteristik dari pernyataan negasi biasanya ditandai dengan penambahan kata bukan atau tidak. Sebagai contoh diberikan sebuah pernyataan: saya bisa mengerjakan semua soal dengan baik. Negasi dari pernyataan tersebut adalah saya tidak bisa mengerjakan semua soal dengan baik. Pernyataan dan negasinya memiliki nilai kebenaran yang berkebalikan. Jika nilai kebenaran sebuah pernyataan benar maka negasinya bernilai salah. Sebaliknya, jika nilai kebenaran sebuah pernyataan salah maka negasinya bernilai benar. Cukup mudah untuk menentukan negasi dari proposisi tunggal seperti pada contoh. Namun, bagaimana dengan negasi pernyataan majemuk dengan konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi? Apakah hanya cukup menambahkan kata tidak? Tentu saja tidak sesederhana itu.

Sobat idschool dapat mencari tahu bagaimana bentuk negasi dari sebuah pernyataan majemuk untuk konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi pada bahasan di bawah. Bahasan di bawah juga akan memuat bagaimana perubahan nilai kebenaran untuk bentuk negasi dari pernyataan majemuk.

Negasi Konjungsi

Pernyataan majemuk dengan konjungsi ditandai dengan adanya kata penghubung dan, tetapi, seandainya, walaupun, seperti, bahwa, walaupun, supaya. Nilai kebenaran dari konjungsi hanya akan bernilai benar (B) jika semua proposisi tunggalnya bernilai benar, selain itu nilainya salah (S). Simbol konjungsi untuk menghubungkan dua proposisi tunggal adalah ∧ atau &.

Misalnya pada contoh Jeany adalah siswa yang pintar dan memiliki hobi membaca. Andaikan p adalah Jeany adalah siswa yang pintar dan q adalah Jeany memiliki hobi membaca. Simbol konjungsi untuk kalimat tersebut adalah p ∧ q atau p & q.

Selanjutnya, bagaimana negasi dari contoh pernyataan majemuk tersebut? Apakah cukup menambahkan kata tidak pada kedua proposisi tunggalnya? Sehingga bentuk negasinya menjadi Jeany adalah bukan siswa yang pintar dan Jeany tidak memiliki hobi membaca? Untuk melihat kebenarannya, perhatikan tabel kebenaran untuk pernyataan majemuk dengan konjungsi dan yang diduga negasinya berikut.

Perhatikan nilai kebenaran untuk kolom p ∧ q dan p ∧ q! Tidak semua baris pada nilai kebenaran pada kedua kolom tersebut memiliki nilai yang berkebalikan. Kesimpulannya, negasi dari p ∧ q bukan p ∧ q. Bentuk negasi yang benar untuk p ∧ q adalah p ∨ q. Sehingga, bentuk negasi untuk contoh konjungsi ini menjadi Jeany adalah bukan siswa yang pintar atau Jeany tidak memiliki hobi membaca.

Perhatikan tabel kebenaran berikut untuk melihat nilai kebenaran dari kedua pernyataan majemuk tersebut.

Pada tabel kebenaran di atas, pada kolom p ∧ q dan p ∨ q memiliki nilai yang saling berkebalikan. Artinya, bentuk negasi untuk p ∧ q adalah p ∨ q.

Baca Juga: Logika Matematika (Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi)

Negasi Disjungsi

Pernyataan majemuk dengan disjungsi ditandai dengan penggunaan kata atau sebagai kata penghubungnya. Simbol disjungsi untuk menghubungkan dua proposisi tunggalnya adalah ∨. Nilai kebenaran dari suatu disjungsi hanya akan bernilai salah (S) jika semua proposisi tunggalnya bernilai salah, selain itu nilainya benar (B).

Perhatikan contoh sebuah disjungsi: Jeany adalah siswa yang pintar dan memiliki hobi membaca. Andaikan p adalah Jeany adalah siswa yang pintar dan q adalah Jeany memiliki hobi membaca. Simbol disjungsi untuk kalimat tersebut adalah p ∨ q.

Bentuk negasi dari disjungsi merupakan konjungsi dari ingkaran kedua proposisi tunggalnya. Sehingga, bentuk negasi untuk pernyataan contoh tersebut menjadi Jeany adalah bukan siswa yang pintar dan tidak memiliki hobi membaca.

Kebenaran dari disjungsi dan bentuk negasinya ini dapat dilihat melalui tabel kebenaran berikut.

Pada tabel kebenaran di atas, nilai kebenaran untuk kolom p ∨ q dan p ∧ q saling berkebalikan. Kesimpulannya, bentuk negasi untuk p ∨ q adalah p ∧ q.

Baca Juga: Cara Melengkapi Nilai Kebenaran pada Tabel Kebenaran

Negasi Implikasi

Sebuah implikasi ditandai kata penghubung jika … maka … dengan simbol garis lurus dengan sebuah anak panah pada ujung kanan (simbol implikasi: →). Nilai kebenaran dari suatu implikasi hanya akan bernilai salah (S) jika anteseden bernilai benar dan konsekuen bernilai salah, selain itu nilainya benar (B).

Contoh pernyataan dengan implikasi adalah Jika Jeany adalah siswa yang pintar maka dia memiliki hobi membaca. Andaikan p adalah Jeany adalah siswa yang pintar dan q adalah Jeany memiliki hobi membaca. Simbol implikasi untuk pernyataan majemuk tersebut adalah p → q.

Tidak sedikit yang mengira bahwa bentuk negasi dari p → q adalah p → q. Nyatanya, bentuk p → q merupakan invers dari implikasi p → q. Invers dari suatu implikasi bukan merupakan bentuk negasi dari suatu implikasi.

Negasi suatu implikasi berbentuk konjungsi dari anteseden dan ingkaran konsekuen. Sehingga, bentuk negasi untuk pernyataan contoh tersebut menjadi Jeany adalah siswa yang pintar dan dia tidak memiliki hobi membaca. Kebenaran dari implikasi dan negasinya ini dapat dilihat melalui tabel kebenaran berikut.

Baca Juga: Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari Suatu Implikasi

Pada tabel kebenaran di atas, semua nilai kebenaran untuk kolom p → q dan p ∧ q saling berkebalikan. Kesimpulannya, bentuk negasi untuk p → q adalah p ∧ q.

Negasi Biimplikasi

Dua proposisi tunggal yang dihubungkan oleh kata penghubung jika dan hanya jika atau bila dan hanya bila merupakan biimplikasi. Simbol biimplikasi adalah garis lurus dengan dua buah anak pada kedua ujungnya (simbol biimplikasi: ↔). Nilai kebenaran dari suatu biimplikasi akan bernilai benar (B) jika kedua proposisi tunggalnya bernilai sama, baik benar (B) atau salah (S). Sebuah biimplikasi akan bernilai salah (S) jika proposisi tunggalnya memiliki nilai kebenaran yang berbeda.

Contoh biimplikasi: Jeany adalah siswa yang pintar jika dan hanya jika dia memiliki hobi membaca. Andaikan p adalah Jeany adalah siswa yang pintar dan q adalah Jeany memiliki hobi membaca. Simbol biimplikasi untuk pernyataan majemuk tersebut adalah p ↔ q.

Baca Juga: 3 Metode Penarikan Kesimpulan pada Logika Matematika

Bentuk negasi suatu biimplikasi bukan berupa biimplikasi dari ingkaran kedua proposisi tunggalnya (negasi biimplikasi p ↔ q bukan p ↔ q). Negasinya juga bukan dengan menukar posisi anteseden dan konsekuen (negasi biimplikasi p ↔ q bukan q ↔ p).

Bentuk negasi dari biimplikasi berbentuk disjungsi dari ingkaran sebuah implikasi dan ingkaran konversnya. Kondisi ini sama dengan bentuk disjungsi dari konjungsi anteseden dan ingkaran konsekuen serta ingkaran konsekuen dan ingkaran antesedennya. Sehingga, bentuk negasi untuk pernyataan contoh tersebut menjadi Jeany adalah siswa yang pintar dan dia tidak memiliki hobi membaca atau Jeany memiliki hobi membaca dan dia adalah bukan siswa yang pintar.

Kebenaran dari biimplikasi dan bentuk negasinya ini dapat dilihat melalui tabel kebenaran berikut.

Pada tabel kebenaran di atas, semua nilai kebenaran untuk kolom p ↔ q dan (p → q) ∨ (p → q) saling berkebalikan. Kesimpulannya, bentuk negasi untuk biimplikasi p ↔ q adalah (p → q) ∨ (p → q).

Demikianlah ulasan materi negasi pernyataan majemuk untuk konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi

.

Sumber gini.com

Pernyataan Berkuantor Universal dan Eksistensial

Quantifier atau kuantor adalah kata yang mendahului kata benda sebagai fungsi untuk menunjukkan jumlah dari benda tersebut. Sehingga, pernyataan berkuantor merupakan pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas atau jumlah. Kata yang digunakan sebagai penunjuk kuantitas/jumlah biasanya adalah semua, beberapa, ada, dan lain sebagainya. Dalam bahasan logika matematika, pernyataan berkuantor terdiri dari dua kelompok berdasarkan penggunaan kuantornya. Kedua kelompok pernyataan berkuantor tersebut adalah pernyataan dengan kuantor universal (kuantor umum) dan kuantor eksistensial (kuantor khusus).

Antara dua bentuk pernyataan berkuantor ini saling berkebalikan. Kuantor universal menjadi negasi/ingkaran untuk kuantor eksistensial. Begitu juga untuk kondisi sebaliknya. Apa perbedaan dari dua jenis kuantor ini? Bahsan lebih lanjut mengenai pernyataan berkuantor untuk dua jenis kuantor diberikan pada ulasan di bawah.

Kuantor Universal/Kuantor Umum

Pernyataan dengan kuantor universal ditandai dengan penggunaan kata setiap atau semua. Simbol operator logika untuk kuantor universal seperti huruf A yang dicerminkan secara horizontal, yaitu ∀. Notasi ∀x dibaca untuk semua x atau untuk setiap x. Pernyataan berkuantor universal dengan kalimat terbuka p(x) disimbolkan dalam ∀x, p(x).

Misalkan sebuah pernyataan terbuka p(x) adalah pegawai memiliki kemampuan membaca yang baik. Pernyataan berkuantor universal menjadi semua pegawai memiliki kemampuan membaca yang baik. Adanya kata semua pada sebuah pernyataan menjadi karakteristik dari pernyataan kuantor universal.

Contoh lain pernyataan – pernyataan dengan kuantor universal:

• Semua siswa memakai seragam dengan rapi.
• Setiap benda langit yang bercahaya disebut bintang.
• Tiap – tiap anak memiliki seorang ibu kandung.

Baca Juga: Logika Matematika (Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi)

Kuantor Eksistensial/Kuantor Khusus

Sebuah pernyataan dengan kuantor eksistensial memiliki karakteristik adanya kata ada, beberapa, terdapat, atau kata – kata yang semakna lainnya. Simbol operator logika untuk kuantor universal seperti huruf E yang dicerminkan secara vertikal, yaitu ∃. Notasi ∃x dibaca ada nilai x, beberapa nilai x, atau terdapat nilai x. Pernyataan berkuantor eksistensial dengan kalimat terbuka p(x) disimbolkan dalam ∃x, p(x).

Perhatikan kembali sebuah pernyataan terbuka p(x) adalah pegawai memiliki kemampuan membaca yang baik. Pernyataan berkuantor eksistensial menjadi beberapa pegawai memiliki kemampuan membaca yang baik. Kata beberapa pada sebuah pernyataan menjadi karakteristik dari pernyataan dengan kuantor eksistensial.

Contoh lain pernyataan – pernyataan dengan kuantor eksistensial:

• Ada bunga mawar yang berwarna putih.
• Beberapa rumah memiliki banyak jendela.
• Terdapat bilangan asli x yang memenuhi pertidaksaam kuadrat x² + 2x – 3 > 0.

Baca Juga: Kalimat Terbuka dan Tertutup dalam Matematika

Ingkaran Pernyataan Berkuantor

Kuantor universal dan eksistensial memiliki hubungan saling berkebalikan. Bentuk ingkaran dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial. Begitu juga untuk ingkaran dari kuantor eksistensial adalah kuantor universal. Dalam kata lain, negasi/ingkaran dari semua/setiap adalah ada/beberapa/terdapat. Kondisi sebaliknya juga berlaku, negasi/ingkaran ada/beberapa/terdapat dari adalah semua/setiap.

Secara umum, bentuk ingkaran dari semua p adalah terdapat p. Sedangkan bentuk ingkaran dari beberapa p adalah semua p.

Contoh ingkaran pernyataan berkuantor universal:

• Pernyataan berkuantor: Semua kucing memiliki penglihatan yang baik di malam hari.
  Ingkaran: Beberapa kucing tidak memiliki penglihatan yang baik di malam hari.
• Pernyataan berkuantor: ∀x ∊R  ∍ (2x ≥ 2)
  Ingkaran: (∀x ∊R  ∍ (2x ≥ 2)) ≡ ∃x ∊R  ∍ (2x < 2)

Contoh ingkaran pernyataan berkuantor eksistensial:

• Pernyataan berkuantor: Beberapa siswa mendapat nilai matematika yang sempurna pada ujian akhir kali ini.
  Ingkaran: Semua siswa tidak mendapat nilai matematika yang sempurna pada ujian akhir kali ini.
• Pernyataan berkuantor: ∃x ∊R  ∍ (2x – 2 < 0)
  Ingkaran: (∃x ∊R  ∍ (2x – 2 < 0)) ≡ ∀x ∊R  ∍ (2x – 2 ≥ 0)

Baca Juga: Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari Suatu Implikasi

Contoh Soal dan Pembahasan

Sobat idschool dapat melatih kemampuan memahami materi pernyataan berkuantor melalui beberapa contoh soal berikut.

Contoh 1: Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Berkuantor

Pernyataan berikut yang bernilai benar adalah ….
A.   (∀x)(6x – 3 ≥ 4)
B.   (∃x)(x ∊R → x² ≥ 0)
C.   (∀x)(x ∊R → x² ≥ 0)
D.   (∀x ∊R)(x² + 3x – 4 > 0)
E.   (∀x ∊R)(x² + 4x – 12 ≤  0)

Pembahasan:

Pernyataan pilihan A salah karena tidak semua nilai x akan berlaku untuk pertidaksamaan 6x – 3 ≥ 4, misalnya untuk nilai x = 1, pertidaksamaan menjadi seperti berikut.
6x – 3 ≥ 4
6(1) – 3 ≥ 4
3 ≥ 4 → pernyataan yang bernilai salah

Pilihan B salah karena semua (∀x) hasil kuadrat bilangan real akan menghasilkan nilai positif (x² ≥ 0), bukan ada  (∃x).

Pernyataan pada pilihan D salah karena ada nilai x yang tidak memenuhi pernyataan, misalnya x = 0.
x² + 3x – 4 > 0
0² + 3(0) – 4 > 0
– 4 > 0 → pernyataan yang bernilai salah

Pernyataan pada pilihan E salah karena ada nilai x yang tidak memenuhi pernyataan, misalnya x = 3.
x² + 4x – 12 ≤  0
3² + 3(3) – 4 ≤ 0
9 + 9 – 4 ≤ 0
– 14 ≤ 0 → pernyataan yang bernilai salah

Jadi, pernyataan berikut yang bernilai benar adalah (∀x)(x ∊R → x² ≥ 0).

Jawaban: C

Contoh 2: Menentukan Ingkaran Pernyataan Berkuantor

Ingkaran dari pernyataan “Semua makhluk hidup perlu makan dan minum” adalah ….
A. semua makhluk hidup tidak perlu makan dan minum
B. ada makhluk hidup yang tidak perlu makan dan minum
C. ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau minum
D. semua makhluk hidup perlu makan dan hidup
E. semua makhluk hidup perlu makan tetapi tidak perlu minum

Pembahsan:

Pernyataan pada soal memuat kata semua yang merujuk pada pernyataan berkuantor universal. Bentuk ingkaran pernyataan berkuantor universal: (∀x ∍ p(x)) ≡ ∃x ∍ p(x)

• Ingkaran dari kata semua (∀x) makhluk hidup adalah beberapa (∃x) makhluk hidup
• Ingkaran dari perlu makan dan minum adalah tidak perlu makan atau minum.

Jadi, ingkaran dari pernyataan Semua makhluk hidup perlu makan dan minum adalah ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau minum. Jawaban: C

Baca Juga: Negasi Pernyataan Majemuk (Konjungsi, Diskungsi, Implikasi, dan Biimplikasi)

Contoh 3: Menentukan Negasi Pernyataan Berkuantor

Ingkaran dari pernyataan Jika semua orang gemar matematika maka IPTEK negara kita maju pesat adalah ….
A. Jika semua orang tidak gemar matematika maka iptek negara kita mundur.
B. Jika semua orang tidak gemar matematika maka iptek negara kita tidak maju pesat.
C. Jika beberapa orang tidak gemar matematika maka iptek negara kita tidak maju pesat.
D. Beberapa orang gemar matematika dan iptek negara kita tidak maju pesat
E. Semua orang gemar matematika tetapi iptek negara kita tidak maju pesat.

Pembahasan:

Pernyataan menggunakan kata semua (∀x) → pernyataan berkuantor universal

Misalkan:

• p = gemar matematika
• q = IPTEK negara kita akan maju pesat

Simbol unutk pernyataan Jika semua orang gemar matematika maka IPTEK negara kita akan maju pesat: p → q.

Bentuk ingkaran pernyataan berkuantor universal: (∀x ∍ p(x)) ≡ ∃x ∍ p(x)

• Ingkaran semua orang (∀x):  beberapa orang (∃x)
• Negasi/ingkaran untuk sebuah implikasi p → q adalah p ∧ q (gemar matematika dan iptek negara kita tidak akan maju pesat)

Jadi, ingkaran dari pernyataan Jika semua orang gemar matematika maka IPTEK negara kita maju pesat adalah Beberapa orang gemar matematika dan iptek negara kita tidak maju pesat.

Jawaban: D

Sekian ulasam materi pernyataan berkuantor yang meliputi kuantor universal dan kuantor eksistensial. Disertai juga bentuk ingkaran dari pernyataan berkuantor untuk kedua jenis tersebut. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: 3 Metode Penarikan Kesimpulan pada Logika Matematika

Sumber gini.com

Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Ekuivalen secara umum dinyatakan dalam arti mempunyai nilai/ukuran/makna yang sama atau seharga. Kondisi ini bukan berarti bahwa ekuivalen dan sama dengan adalah hal yang sama. Pengertian sama dengan mengarah pada kondisi yang menunjukkan sama dan setara. Sedangkan ekuivalen memiliki kondisi lebih luas dari pengertian sama dengan. Misalkan nilai beras dengan berat dan jenis yang sama akan memiliki nilai yang sama dengan beras dan jenis yang sama pula. Sedangkan ekuivalen lebih cocok untuk menggambarkan nilai yang sama/seharga. Misalnya harga 1 kilogram beras ekuivalen dengan 1 kilogram singkong. Notasi yang digunakan untuk menyatakan bentuk ekuivalen pernyataan majemuk adalah ≡ (dibaca: identical to/setara).

Dalam bahasan logika matematika, terdapat pernyataan yang saling ekuivalen. Perhatikan pernyataan Saya mampu mengerjakan soal matematika. Selanjutnya perhatikan pernyataan Saya bukan tidak mampu mengerjakan soal matematika. Kedua pernyataan tersebut terlihat berbeda, namu sebenarnya memiliki pernyataan yang sama. Contoh lain pada pernyataan majemuk: Jika saya pergi ke sekolah naik bus maka saya sampai sekolah tepat waktu dan Jika saya tidak sampai sekolah tepat waktu maka saya pergi ke sekolah tidak naik bus atau. Dua pernyataan tersebut merupakan bentuk ekuivalen pernyataan majemuk.

Dua contoh pernyataan majemuk di atas merupakan implikasi dan bentuk kontraposisinya. Sebagaimana diketahui bahwa suatu implikasi ekuivalen dengan bentuk kontraposisinya. Bagaimana cara mengetahui dua pernyataan majemuk yang saling ekuivalen? Jawaban dari pertanyaan tersebut dapat sobat idschool cari tahu melalui ulasan di bawah.

Baca Juga: Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari Suatu Implikasi

Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Sebuah pernyataan majemuk bisa jadi memiliki lebih dari satu pernyataan yang ekuivalen. Perhatikan kembali contoh pernyataan majemuk Jika saya pergi ke sekolah naik bus maka saya sampai sekolah tepat waktu. Bentuk ekuivalen dari pernyataan majemuk tersebut adalah Jika saya tidak sampai sekolah tepat waktu maka saya pergi ke sekolah tidak naik bus atau.

Selain itu, terdapat bentuk ekuivalen lain untuk contoh pernyataan majemuk tersebut. Contoh bentuk ekuivalen lain untuk contoh tersebut adalah Saya pergi kesekolah tidak naik bus atau saya sampai sekolah tepat waktu.  

Dalam simbol logika matematika, pernyataan – pernyataan tersebut diberikan seperti daftar berikut.

• p : Saya pergi ke sekolah naik bus.
• q : Saya sampai sekolah tepat waktu.
• Jika saya pergi ke sekolah naik bus maka saya sampai sekolah tepat waktu. (p → q)
• Jika saya sampai sekolah tidak tepat waktu maka saya pergi ke sekolah tidak naik bus. ( q → p)
• Saya pergi ke sekolah tidak naik bus atau saya sampai sekolah tepat waktu. p ∨ q

Baca Juga: Logika Matematika (Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi)

Bagaiaman sobat idschool dapat mengetahui bahwa pernyataan – pernyataan majemuk tersebut saling ekuivalen? Untuk mengetahuinya, simak bahasan cara membuktikan ekuivalen pernyataan majemuk berikut.

Cara Membuktikan Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Dua pernyataan dikatakan ekuivalen (sama) jika kedua pernyataan majemuk tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama. Sehingga, untuk melihat keabsahan dua pernyataan majemuk yang saling ekuivalen dapat dilihat melalui tabel kebenaran. Sebagai contoh akan diselidiki tiga pernyataan majemuk yang menjadi contoh sebelumnya.

Diberikan dua proposisi tunggal p = Saya pergi ke sekolah naik bus dan q : Saya sampai sekolah tepat waktu.

Akan diselidiki ekuivalensi dari tiga pernyataan majemuk berikut.

• p → q: Jika saya pergi ke sekolah naik bus maka saya sampai sekolah tepat waktu.
• q → p: Jika saya sampai sekolah tidak tepat waktu maka saya pergi ke sekolah tidak naik bus saya.
• p ∨ q: Saya pergi kesekolah tidak naik bus atau saya sampai sekolah tepat waktu.

Perhatikan tabel kebenaran berikut.

Perhatikan pada ketiga kolom p → q, q → p, dan p ∨ q! Ketiga kolom tersebut memiliki nilai kebenaran yang sama. Kondisi ini menjadi bukti bahwa pernyataan – pernyataan majemuk tersebut saling ekuivalen.

Baca Juga: Cara Melengkapi Tabel Kebenaran Logika Matematika

Hukum proposisi berikut akan bermanfaat untuk membuktikan ekuivalensi dua buah proposisi.

1. Hukum Involusi: ( 𝑝) ≡ 𝑝
2. Hukum De Morgan:
   ∼ ( 𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ∼ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞 ∼ ( 𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ∼ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞
3. Hukum Identitas:
   𝑝 ∨ 𝑆 ≡ 𝑝
   𝑝 ∧ 𝐵 ≡ 𝑝
4. Hukum Absorpsi:
   𝑝 ∨ ( 𝑝 ∧ 𝑞) ≡ 𝑝
   𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ 𝑝
5. Hukum Null (Dominisasi):
   𝑝 ∧ 𝑆 ≡ 𝑆
   𝑝 ∨ 𝐵 ≡ 𝐵
6. Hukum Komutatif:
   𝑝 ∨ 𝑞 ≡ 𝑞 ∨ 𝑝
   𝑝 ∧ 𝑞 ≡ 𝑞 ∧ 𝑝
7. Hukum Negasi:
   𝑝 ∧∼ 𝑝 ≡ 𝑆
   𝑝 ∨∼ 𝑝 ≡ 𝐵
8. Hukum Asosiatif:
   𝑝 ∨ ( 𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟
   𝑝 ∧ ( 𝑞 ∧ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟
9. Hukum Idempoten:
   𝑝 ∨ 𝑝 ≡ 𝑝
   𝑝 ∧ 𝑝 ≡ 𝑝
10. Hukum Distributif:
    𝑝 ∨ ( 𝑞 ∧ 𝑟) ≡ ( 𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)
    𝑝 ∧ ( 𝑞 ∨ 𝑟) ≡ ( 𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)

Ekuivalensi pernyataan majemuk lainnya:

1. p → q ≡ p ∨ q
2. p → q ≡ q → p
3. (p → q) ≡ p ∧ q
4. p → (q → r) ≡ (p ∧ q) → r
5. p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
6. p ↔ q ≡ ( p ∨ q) ∧ ( q ∨ p)
7. p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ ( p ∧ q)
8. (p ↔ q) ≡ p ↔ q

Baca Juga: Negasi Pernyataan Majemuk (Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi)

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal menentukan pernyataan majemuk berikut akan menambah pemahaman materi.

Contoh 1: Menentukan Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

Pernyataan yang ekuivalen dengan pernyataan “Jika semua siswa hadir, maka beberapa guru tidak hadir” adalah ….
A. Beberapa siswa tidak hadir atau beberapa guru hadir
B. Semua siswa tidak hadir atau beberapa guru tidak hadir
C. Beberapa siswa tidak hadir atau beberapa guru tidak hadir
D. Beberapa siswa tidak hadir atau semua guru tidak hadir
E. Semua siswa hadir dan beberapa guru hadir

Pembahasan:

Misalkan:

• p = Semua siswa hadir
• q = Beberapa guru tidak hadir

Negasi dari kedua proposisi tunggal di atas adalah:

• p = Beberapa siswa tidak hadir
• q = Semua guru hadir

Pernyataan: p → q

Salah satu bentuk pernyataan yang ekuivalen denga p → q adalah p ∨ q.

Jadi, pernyataan yang ekuivalen dengan pernyataan “Jika semua siswa hadir, maka beberapa guru tidak hadir” adalah “Beberapa siswa tidak hadir atau beberapa guru tidak hadir.”

Jawaban: C

Contoh 2: Menentukan Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

Pernyataan p → q ekuivalen dengan ….
A. p ∧ q
B. p ∨ q
C. p ∨ q
D. p ∨ q
E. q → p

Pembahasan:

Mencari pernyataan majemuk yang ekuivalen dengan p → q:

p → q ≡ [ ( p → q)]
p → q ≡ [ p ∧ q]
p → q ≡ ( p) ∨ ( q)
p → q ≡ p ∨ q

Jadi, pernyataan p → q ekuivalen dengan p ∨ q.

Jawaban: B

Contoh 3: Menentukan Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

Pembahasan:

Pernyataan yang senilai adalah bentuk ekuivalen pernyataan. Pernyataan yang diberikan berupa suatu implikasi p → q.

Selidiki masing – masing pernyataan yang diberikan pada soal.

• (1) p → q ≢ q → p, karena merupakan suatu implikasi dan bentuk konvers nya, nilai kebenarannya tidak sama
• (2) p → q ≢ p → q, karena merupakan suatu implikasi dan bentuk inversnya, nilai kebenarannya tidak sama
• (3) p → q ≡ q → p, karena merupakan suatu implikasi dan bentuk kontraposisinya
• (4) p → q ≡ [ (p → q)] ≡ (p ∧ q) ≡ p ∨ ( q) ≡ p ∨ q

Jadi, pernyataan yang benar terdapat pada nomor (3) dan (4).

Jawaban: D

Demikianlah ulasan materi bentuk ekuivalen pernyataan majemuk, dilengkapi dengan cara membuktikan kebenarannya. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi

Sumber gini.com

Cara Menentukan Banyaknya Anggota Himpunan Bagian

Himpunan adalah kumpulan objek – objek yang berbeda yang disebut elemen, unsur, atau anggota. Suatu himpunan memiliki syarat keanggotaan yang terdefinisi dengan jelas. Contohnya pada himpunan hewan berkaki empat. Dalam himpunan yang telah didefinisikan tersebut dapat meliputi kambing, sapi, kerbau, singa, harimau, dan hewan dengan kaki sebanyak empat lainnya. Contoh lainnya pada definisi himpunan 5 bilangan prima pertama. Himpunan tersebut jelas terdefinisi untuk anggota himpunan yang terdiri dari bilangan 2, 3, 5, 7, dan 11. Jika syarat keanggotaan tidak terdefinisi dengan jelas maka tidak bisa disebut dengan himpunan. Contoh sebuah definisi yang bukan himpunan adalah himpunan perempuan cantik di Jakarta. Sebuah himpunan dengan n anggota memiliki banyaknya anggota himpunan x anggota, dengan x lebih dari. Apa itu anggota himpunan bagian? Bagaimana cara menentukan banyaknya anggota himpunan bagian?

Sebelumnya, ingat kembali materi tentang himpunan. Sebuah himpunan dinyatakan dengan menggunakan kurung kurawal { } dan diberi nama dengan huruf kapital. Sedangkan anggota himpunan dituliskan di dalam tanda kurung kurawal menggunakan huruf kecil. Contohnya adalah himpunan A dengan anggota huruf vokal. Untuk menyatakan tersebut dapat dituliskan dengan mendaftar anggota – anggota himpunan A, yaitu A = {a, i, u, e, o}. Notasi untuk menyatakan sebuah anggota merupakan bagian dari suatu himpunan adalah ∊. Misalkan terdapat sebuah himpunan A dan a merupakan anggota dari A dan b bukan merupakan anggota dari a. Untuk menyatakan kalimat tersebut dalam notasi himpunan adalah a ∊ A. Sedangkan untuk menyatakan b yang bukan anggota himpunan A adalah b ∉ A.

Seperti yang telah sedikit disinggung sebelumnya bahwa sebuah himpunan memuat himpunan bagian. Sobat idschool dapat mencari tahu jawaban apa itu anggota himpuan bagian? Dan bagaimana cara menentukan banyaknya anggota himpunan bagian melalui ulasan di bawah.

Baca Juga: Himpunan dan Diagram Venn

Himpunan Bagian

Himpunan bagian atau yang sering disebut subset adalah suatu himpunan yang termuat dalam himpunan lain yang cakupannya lebih luas. Himpunan A merupakan himpunan bagian B bila himpunan A termuat di dalam B. Simbol himpunan bagian dinyatakan dalam notasi ⊂ atau ⊆. Notasi untuk menyatakan himpunan A adalah subset atau himpunan bagian dari (atau termasuk ke dalam) B adalah A ⊂ B atau A ⊆ B.

A ⊂ B berbeda dengan A ⊆ B. Pada A ⊂ B memiliki pengertian A dalah himpunan bagian dari B tetapi A ≠ B. Sedangkan A ⊆ B memiliki pengertian bahwa A adalah himpunan bagian/subset dari B yang memungkinkan A = B.

Dua buah himpunan A dan B dapat memenuhi A = B jika dan jika setiap anggota A merupakan anggota B dan anggota B merupakan anggota A. Dalam kata lain, pernyataan tersebut sama dengan A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Selain kondisi tersebut maka A ≠ B.

Setiap himpunan selalu mempunyai himpunan kosong dan himpunan yang persis sama dengan himpunan itu sendiri sebagai himpunan bagiannya. Himpunan bagian juga memuat kombinasi anggota – anggotanya yang banyaknya adalah 1, 2, …, (n – 1) anggota.

Misalnya pada sebuah himpunan H dengan anggota himpunan lima bilangan prima pertama. Diketahui bahwa H = {2, 3, 5, 7, 11}. Himpunan tersebut memiliki anggota himpunan bagian sebanyak 32. Anggota himpunan bagian tersebut meliputi himpunan bagian yang memuat sebanyak 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 anggota. Daftar anggota himpunan bagian H terdiri dari {{ }, {2}, {3}, {5}, {7}, {11}, {2, 3}, {2, 5}, {2, 7}, {2, 11}, {3, 5}, {3, 7}, {3, 11}, {5, 7}, {5, 11}, {7, 11}, {2, 3, 5}, {2, 3, 7}, {2, 3, 11}, {2, 5, 7}, {2, 5, 11}, {2, 7, 11}, {3, 5, 7}, {3, 5, 11}, {3, 7, 11}, {5, 7, 11}, {2, 3, 5, 7}, {2, 3, 5, 11}, {3, 5, 7, 11}, {2, 5, 7, 11}, {2, 3, 7, 11}, {2, 3, 5, 7, 11} }

Sejumlah anggota himpunan bagian sebanyak 32. Berikutnya adalah ulasan cara menentukan banyak anggota himpunan bagian.

Baca Juga: Menentukan Daerah Asal (Domain), Daerah Kawan (Kodomain), dan Daerah Hasil (Range)

Banyaknya Anggota Himpunan Bagian

Ingat kembali sebuah himpunan H yang dijadikan contoh sebelumnya, H = {2, 3, 5, 7, 11}. Himpunan H terdiri dari 5 anggota. Banyaknya anggota himpunan bagian dari himpunan H dapat diperoleh melalui rumus 2⁵ yaitu sebanyak 32. Secara umum untuk sebuah himpunan dengan n anggota, banyaknya anggota himpunan dapat diketahui melalui rumus 2ⁿ.

Banyaknya himpunan bagian untuk himpunan H dengan 1, 2, 3, 4, dan 5 anggota diberikan seperti daftar berikut.

• Himpunan bagian H dengan 0 anggota (himpunan kosong) ada sebanyak 1, yaitu himpunan kosong { }
• Himpunan H dengan 1 anggota ada sebanyak 5 yaitu {{2}, {3}, {5}, {7}, {11}}
• Himpunan bagian H dengan 2 anggota ada sebanyak 10:
  {{2, 3}, {2, 5}, {2, 7}, {2, 11}, {3, 5}, {3, 7}, {3, 11}, {5, 7}, {5, 11}, {7, 11}}
• Himpunan bagian H dengan 3 anggota ada sebanyak 10:
  {{2, 3, 5}, {2, 3, 7}, {2, 3, 11}, {2, 5, 7}, {2, 5, 11}, {2, 7, 11}, {3, 5, 7}, {3, 5, 11}, {3, 7, 11}, {5, 7, 11}}
• Himpunan bagian H dengan 4 anggota ada sebanyak 5:
  {{2, 3, 5, 7}, {2, 3, 5, 11}, {3, 5, 7, 11}, {2, 5, 7, 11}, {2, 3, 7, 11}}
• Himpunan bagian H dengan 5 anggota ada sebanyak 1: {(2, 3, 5, 7, 11)}

Cara mengetahui banyaknya anggota himpunan dengan cara mendaftar seperti di atas tentu tidak akan menguntungkan. Ada cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan banyaknya anggota himpunan bagian. Cara kedua ini bisa dibilang sebagai cara cepat menentukan banyaknya anggota himpunan bagian. Cara cepat ini menggunakan bantuan segitiga pascal. Sebagai contoh gunakan kembali himpunan H yang terdiri dari 5 anggota, H = {2, 3, 5, 7, 11}.

Baca Juga: Cara Menentukan Banyaknya Pemetaan

Contoh Soal dan Pembahasan

Sobat idschool dapat melatih kemampuan pemahaman materi himpunan bagian pada beberapa contoh soal di bawah. Contoh soal yang diberikan sudah dilengkapi dengan pembahasan. Gunakan pembahasan soal sebagai tolak ukur keberhasilan soobat idschool dalam mengerjakan soal.

Contoh 1 – Menentukan Anggota Himpunan Bagian dengan x Anggota dari n Anggota

P = {x | x ≤ 13, x ∊ bilangan prima}
Banyaknya himpunan bagian dari P yang mempunyai 2 anggota adalah ….
A.   25
B.   15
C.   12
D.   7

Pembahsan:

P = {x | x ≤ 13, x ∊ bilangan prima}
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13} → himpunan dengan 6 anggota

Segitiga pascal untuk himpunan dengan 6 anggota:

                    1
               1        1
            1      2      1
         1    3       3      1
      1    4      6      4     1
   1   5    10    10     5   1
1   6   15    20     15    6  1

Berdasarkan segitiga pascal di atas, banyak himpunan bagian dari P untuk 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 anggota berturut – turut adalah 1, 6, 15, 20, 15, 15, 6, dan 1.

Jadi, banyaknya himpunan bagian dari P yang mempunyai 2 anggota adalah 15 yaitu {{2, 3}, {2, 5}, {2, 7}, {2, 11}, {2, 13}, {3, 5}, {3, 7}, {3, 11}, {3, 13}, {5, 7}, {5, 11}, {5, 13}, {7, 11}, {7, 13}, {11, 13}}.

Jawaban: B

Contoh 2 – Menentukan Banyaknya Anggota Himpunan Bagian

Jika T = {y | 20 < y < 30, y ∊ himpunan bilangan prima}, banyak himpunan bagian dari T adalah ….
A.   16
B.   8
C.   4
D.   2

Pembahasan:

T = {y | 20 < y < 30, y ∊ himpunan bilangan prima}
T = {23, 29} → banyaknya anggota: n = 2

Banyaknya anggota himpunan bagian dengan sebuah himpunan yang terdiri dari n anggota dapat dihitung menggunakan rumus 2ⁿ.

Jadi, banyaknya himpunan bagian dari T adalah 2² = 4 yaitu {Ø; 23; 29; (23, 29)}.

Jawaban: C

Demikianlan ulasan materi cara menentukan banyaknya anggota himpunan bagian x anggota dari n anggota. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Kalimat Terbuka dan Tertutup dalam Matematika

Sumber gini.com