Pernyataan Berkuantor Universal dan Eksistensial

Quantifier atau kuantor adalah kata yang mendahului kata benda sebagai fungsi untuk menunjukkan jumlah dari benda tersebut. Sehingga, pernyataan berkuantor merupakan pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas atau jumlah. Kata yang digunakan sebagai penunjuk kuantitas/jumlah biasanya adalah semua, beberapa, ada, dan lain sebagainya. Dalam bahasan logika matematika, pernyataan berkuantor terdiri dari dua kelompok berdasarkan penggunaan kuantornya. Kedua kelompok pernyataan berkuantor tersebut adalah pernyataan dengan kuantor universal (kuantor umum) dan kuantor eksistensial (kuantor khusus).

Antara dua bentuk pernyataan berkuantor ini saling berkebalikan. Kuantor universal menjadi negasi/ingkaran untuk kuantor eksistensial. Begitu juga untuk kondisi sebaliknya. Apa perbedaan dari dua jenis kuantor ini? Bahsan lebih lanjut mengenai pernyataan berkuantor untuk dua jenis kuantor diberikan pada ulasan di bawah.

Kuantor Universal/Kuantor Umum

Pernyataan dengan kuantor universal ditandai dengan penggunaan kata setiap atau semua. Simbol operator logika untuk kuantor universal seperti huruf A yang dicerminkan secara horizontal, yaitu ∀. Notasi ∀x dibaca untuk semua x atau untuk setiap x. Pernyataan berkuantor universal dengan kalimat terbuka p(x) disimbolkan dalam ∀x, p(x).

Misalkan sebuah pernyataan terbuka p(x) adalah pegawai memiliki kemampuan membaca yang baik. Pernyataan berkuantor universal menjadi semua pegawai memiliki kemampuan membaca yang baik. Adanya kata semua pada sebuah pernyataan menjadi karakteristik dari pernyataan kuantor universal.

Contoh lain pernyataan – pernyataan dengan kuantor universal:

• Semua siswa memakai seragam dengan rapi.
• Setiap benda langit yang bercahaya disebut bintang.
• Tiap – tiap anak memiliki seorang ibu kandung.

Baca Juga: Logika Matematika (Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi)

Kuantor Eksistensial/Kuantor Khusus

Sebuah pernyataan dengan kuantor eksistensial memiliki karakteristik adanya kata ada, beberapa, terdapat, atau kata – kata yang semakna lainnya. Simbol operator logika untuk kuantor universal seperti huruf E yang dicerminkan secara vertikal, yaitu ∃. Notasi ∃x dibaca ada nilai x, beberapa nilai x, atau terdapat nilai x. Pernyataan berkuantor eksistensial dengan kalimat terbuka p(x) disimbolkan dalam ∃x, p(x).

Perhatikan kembali sebuah pernyataan terbuka p(x) adalah pegawai memiliki kemampuan membaca yang baik. Pernyataan berkuantor eksistensial menjadi beberapa pegawai memiliki kemampuan membaca yang baik. Kata beberapa pada sebuah pernyataan menjadi karakteristik dari pernyataan dengan kuantor eksistensial.

Contoh lain pernyataan – pernyataan dengan kuantor eksistensial:

• Ada bunga mawar yang berwarna putih.
• Beberapa rumah memiliki banyak jendela.
• Terdapat bilangan asli x yang memenuhi pertidaksaam kuadrat x² + 2x – 3 > 0.

Baca Juga: Kalimat Terbuka dan Tertutup dalam Matematika

Ingkaran Pernyataan Berkuantor

Kuantor universal dan eksistensial memiliki hubungan saling berkebalikan. Bentuk ingkaran dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial. Begitu juga untuk ingkaran dari kuantor eksistensial adalah kuantor universal. Dalam kata lain, negasi/ingkaran dari semua/setiap adalah ada/beberapa/terdapat. Kondisi sebaliknya juga berlaku, negasi/ingkaran ada/beberapa/terdapat dari adalah semua/setiap.

Secara umum, bentuk ingkaran dari semua p adalah terdapat p. Sedangkan bentuk ingkaran dari beberapa p adalah semua p.

Contoh ingkaran pernyataan berkuantor universal:

• Pernyataan berkuantor: Semua kucing memiliki penglihatan yang baik di malam hari.
  Ingkaran: Beberapa kucing tidak memiliki penglihatan yang baik di malam hari.
• Pernyataan berkuantor: ∀x ∊R  ∍ (2x ≥ 2)
  Ingkaran: (∀x ∊R  ∍ (2x ≥ 2)) ≡ ∃x ∊R  ∍ (2x < 2)

Contoh ingkaran pernyataan berkuantor eksistensial:

• Pernyataan berkuantor: Beberapa siswa mendapat nilai matematika yang sempurna pada ujian akhir kali ini.
  Ingkaran: Semua siswa tidak mendapat nilai matematika yang sempurna pada ujian akhir kali ini.
• Pernyataan berkuantor: ∃x ∊R  ∍ (2x – 2 < 0)
  Ingkaran: (∃x ∊R  ∍ (2x – 2 < 0)) ≡ ∀x ∊R  ∍ (2x – 2 ≥ 0)

Baca Juga: Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari Suatu Implikasi

Contoh Soal dan Pembahasan

Sobat idschool dapat melatih kemampuan memahami materi pernyataan berkuantor melalui beberapa contoh soal berikut.

Contoh 1: Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Berkuantor

Pernyataan berikut yang bernilai benar adalah ….
A.   (∀x)(6x – 3 ≥ 4)
B.   (∃x)(x ∊R → x² ≥ 0)
C.   (∀x)(x ∊R → x² ≥ 0)
D.   (∀x ∊R)(x² + 3x – 4 > 0)
E.   (∀x ∊R)(x² + 4x – 12 ≤  0)

Pembahasan:

Pernyataan pilihan A salah karena tidak semua nilai x akan berlaku untuk pertidaksamaan 6x – 3 ≥ 4, misalnya untuk nilai x = 1, pertidaksamaan menjadi seperti berikut.
6x – 3 ≥ 4
6(1) – 3 ≥ 4
3 ≥ 4 → pernyataan yang bernilai salah

Pilihan B salah karena semua (∀x) hasil kuadrat bilangan real akan menghasilkan nilai positif (x² ≥ 0), bukan ada  (∃x).

Pernyataan pada pilihan D salah karena ada nilai x yang tidak memenuhi pernyataan, misalnya x = 0.
x² + 3x – 4 > 0
0² + 3(0) – 4 > 0
– 4 > 0 → pernyataan yang bernilai salah

Pernyataan pada pilihan E salah karena ada nilai x yang tidak memenuhi pernyataan, misalnya x = 3.
x² + 4x – 12 ≤  0
3² + 3(3) – 4 ≤ 0
9 + 9 – 4 ≤ 0
– 14 ≤ 0 → pernyataan yang bernilai salah

Jadi, pernyataan berikut yang bernilai benar adalah (∀x)(x ∊R → x² ≥ 0).

Jawaban: C

Contoh 2: Menentukan Ingkaran Pernyataan Berkuantor

Ingkaran dari pernyataan “Semua makhluk hidup perlu makan dan minum” adalah ….
A. semua makhluk hidup tidak perlu makan dan minum
B. ada makhluk hidup yang tidak perlu makan dan minum
C. ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau minum
D. semua makhluk hidup perlu makan dan hidup
E. semua makhluk hidup perlu makan tetapi tidak perlu minum

Pembahsan:

Pernyataan pada soal memuat kata semua yang merujuk pada pernyataan berkuantor universal. Bentuk ingkaran pernyataan berkuantor universal: (∀x ∍ p(x)) ≡ ∃x ∍ p(x)

• Ingkaran dari kata semua (∀x) makhluk hidup adalah beberapa (∃x) makhluk hidup
• Ingkaran dari perlu makan dan minum adalah tidak perlu makan atau minum.

Jadi, ingkaran dari pernyataan Semua makhluk hidup perlu makan dan minum adalah ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau minum. Jawaban: C

Baca Juga: Negasi Pernyataan Majemuk (Konjungsi, Diskungsi, Implikasi, dan Biimplikasi)

Contoh 3: Menentukan Negasi Pernyataan Berkuantor

Ingkaran dari pernyataan Jika semua orang gemar matematika maka IPTEK negara kita maju pesat adalah ….
A. Jika semua orang tidak gemar matematika maka iptek negara kita mundur.
B. Jika semua orang tidak gemar matematika maka iptek negara kita tidak maju pesat.
C. Jika beberapa orang tidak gemar matematika maka iptek negara kita tidak maju pesat.
D. Beberapa orang gemar matematika dan iptek negara kita tidak maju pesat
E. Semua orang gemar matematika tetapi iptek negara kita tidak maju pesat.

Pembahasan:

Pernyataan menggunakan kata semua (∀x) → pernyataan berkuantor universal

Misalkan:

• p = gemar matematika
• q = IPTEK negara kita akan maju pesat

Simbol unutk pernyataan Jika semua orang gemar matematika maka IPTEK negara kita akan maju pesat: p → q.

Bentuk ingkaran pernyataan berkuantor universal: (∀x ∍ p(x)) ≡ ∃x ∍ p(x)

• Ingkaran semua orang (∀x):  beberapa orang (∃x)
• Negasi/ingkaran untuk sebuah implikasi p → q adalah p ∧ q (gemar matematika dan iptek negara kita tidak akan maju pesat)

Jadi, ingkaran dari pernyataan Jika semua orang gemar matematika maka IPTEK negara kita maju pesat adalah Beberapa orang gemar matematika dan iptek negara kita tidak maju pesat.

Jawaban: D

Sekian ulasam materi pernyataan berkuantor yang meliputi kuantor universal dan kuantor eksistensial. Disertai juga bentuk ingkaran dari pernyataan berkuantor untuk kedua jenis tersebut. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: 3 Metode Penarikan Kesimpulan pada Logika Matematika

Sumber gini.com