Pada kesempatan kali ini kita akan membahas tentang bilangan prima, bagi anda yang belum paham mengenai bilangan prima, silakan menyimak pembahasan berikut.
Bilangan prima adalah bilangan asli yang memiliki nilai lebih besari dari 1 dan hanya bisa dibagi oleh 2 bilangan asli, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.
Contoh
2, 3, 5
Ketiga bilangan di atas hanya bisa dibagi oleh 2 bilangan asli, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.
Bagaimana dengan angka 4?
4 bukan bilangan prima karena bisa dibagi oleh bilangan asli selain 1 dan bilangan itu sendiri, yaitu bisa dibagi 2.
Sebuah bilangan lebih besar dari satu dan bukan bilangan prima disebut sebagai bilangan komposit.
Faktor Prima
Faktor prima dari suatu bilangan adalah bilangan prima yang merupakan faktor bilangan tersebut.
Untuk menentukan faktor prima, anda bisa menggunakan pohon faktor. Berikut contohnya:
Dari contoh yang sudah kita jelaskan pada gambar diatas itu bisa dilihat kalau faktor prima dari bilangan 30 adalah 2×3×5.
Bilangan Prima Kurang Dari 100
Berikut adalah bilangan prima kurang dari 100
Range
Bilangan Prima
01-10
2, 3, 5, 7
11-20
11, 13, 17, 19
21-30
23, 29
31-40
31, 37
41-50
41, 43, 47
51-60
53, 59
61-70
61, 67
71-80
71, 73, 79
81-90
83, 89
91-100
97
Contoh Soal Bilangan Prima
Tentukan faktor prima dari 72 !
Dengan menggunakan pohon faktor, dapat diperoleh
Jadi faktor prima dari 72 adalah 2×2×2×3×3.
Demikian pembahasan tentang bilangan prima, semoga bermanfaat.
Contoh Soal Kombinasi – Pada pertemuan kali ini kita akan mempelajari beberapa latihan soal tentang materi kombinasi. Di bawah ini sudah kami kumpulkan beberapa contoh soal kombinasi yang sudah dilengkapi dengan jawaban dan pembahasannya. Mari kita pelajari bersama.
1. Dari 5 orang kurir yang bekerja di jakarta akan dipilih 3 orang untuk mengirim paket ke wilayah jakarta pusat. Ada berapa cara memilih kurir tersebut?
Pembahasan
5C3 =5! / (3! (5-3)!)
5C3 = (5×4×3×2×1) /((3×2×1)(2×1))
5C3 = (5×4) /(2×1))
5C3 = 20 / 2 = 10
Jadi, banyaknya cara untuk memilih kurir yang mengirim barang ke wilayah jakarta pusat adalah 10 cara.
2. Lisa pergi ke pasar untuk membeli 4 jenis buah. Jika di toko buah terdapat 7 jenis buah, maka berapa kombinasi empat jenis buah yang mungkin dibeli oleh Lisa?
Pembahasan
7C4 = 7!/(4!(7-4)!)
7C4 = (7×6×5×4×3×2×1) / ((4×3×2×1)(3×2×1))
7C4 = (7×6×5) / (3×2×1)
7C4 = 7×5 = 35
Jadi, kombinasi tiga jenis buah yang mungkin dibeli oleh Lisa adalah 35 kombinasi buah.
3. Dalam suatu rapat yang dihadiri 8 orang yang baru pertama kali bertemu. 8 orang tersebut berkenalan dan berjabat tangan satu sama lain agar mereka saling kenal. Ada berapa banyak jabat tangan yang dilakukan?
Pembahasan
8C2 = 8!/(2!(8-2)!)
8C2 = 8!/(2! 6!)
8C2 = (8×7×6×5×4×3×2×1) / ((2×1)(6×5×4×3×2×1))
8C2 = (8×7) / 2
8C2 = 28
Jadi, banyaknya jabat tangan yang dilakukan ada 28 kali.
4. Suatu pengurus inti OSIS yang terdiri dari 4 orang laki-laki dan 3 orang wanita akan dipilih 3 orang perwakilan untuk menghadiri acara di balai kota. Ada berapa cara memilih jika perwakilan terdiri dari 2 orang laki-laki dan 1 orang perempuan?
Pembahasan
Cara memilih 2 laki-laki dan 1 perempuan = Cara memilih 2 laki-laki × Cara memilih 1 perempuan
Cara memilih 2 laki-laki:
4C2 = 4!/(2!(4-2)!)
4C2 = 4!/(2! 2!)
4C2 = (4×3×2×1) / ((2×1)(2×1))
4C2 = 3×2×1
4C2 = 6
Cara memilih 1 perempuan
3C1 = 3!/(1!(3-1)!)
3C1 = 3!/ 2!
3C1 = (3×2×1) / (2×1)
3C1 = 3
Cara memilih 2 laki-laki dan 1 perempuan = 6 × 3 = 18
Jadi, banyaknya cara memilih perwakilan OSIS tersebut adalah 18 cara.
5. Via diminta untuk membeli 7 jenis sayuran dari pedagang yang menjual 10 jenis sayuran. Jika 4 jenis diantaranya harus dibeli, berapa banyak kombinasi 7 sayuran yang mungkin dibeli Via?
Pembahasan
Karena 4 jenis sayuran harus dibeli, Via tinggal memilih sisanya, yaitu 7-4 = 3 jenis sayuran dari sisa jenis sayuran yang belum dipilih, yaitu 10-4 =6, maka:
6C3 = 6!/(3!(6-3)!)
6C3 = 6!/ (3!3!)
6C3 = (6×5×4×3×2×1) / ((3×2×1)(3×2×1))
6C3 = (6×5×4) / (3×2×1)
6C3 = 5×4
6C3 = 20
Jadi, kombinasi 7 sayuran yang mungkin dibeli Via ada 20.
6. Lifa akan mengambil 3 buku dan 2 pulpen dari meja belajarnya yang menyimpan 6 buku dan 4 pulpen. Ada berapa cara Lifa dapat memilih buku dan pulpen yang diinginkannya?
Pembahasan
Banyak cara memilih buku:
6C3 = 6!/(3!(6-3)!)
6C3 = 6!/ (3!3!)
6C3 = (6×5×4×3×2×1) / ((3×2×1)(3×2×1))
6C3 = (6×5×4) / (3×2×1)
6C3 = 5×4
6C3 = 20
Banyak cara memilih pulpen:
4C2 = 4!/(2!(4-2)!)
4C2 = 4!/(2! 2!)
4C2 = (4×3×2×1) / ((2×1)(2×1))
4C2 = 3×2×1
4C2 = 6
Banyak cara memilih buku dan pulpen = Banyak cara memilih buku × Banyak cara memilih pulpen
Banyak cara memilih buku dan pulpen = 20 × 6 = 120
Jadi, banyaknya cara Lifa dapat memilih buku dan pulpen yang diinginkannya adalah 120 cara.
7. Sebuah kelas akan memilih 5 putra dan 3 putri untuk menjadi perwakilan lomba. Jika terdapat 15 siswa di kelas tersebut, dan 9 diantaranya adalah putra. Hitunglah banyaknya cara memilih perwakilan lomba dari kelas tersebut!
Pembahasan
Banyaknya cara memilih perwakilan kelas = Banyaknya cara memilih putra × Banyaknya cara memilih putri
= 9C5 × 6C3
= 9!/(5!×(9-5)!) × 6!/(3!×(6-3)!)
= 9!/(5!×4!) × 6!/(3!×3)!)
= 126 × 20
= 2520
Banyaknya cara memilih perwakilan lomba dari kelas tersebut adalah 2520 cara.
Itulah beberapa contoh soal kombinasi beserta jawaban dan pembahasannya yang sudah kami kumpulkan untuk anda. Semoga dengan memahami contoh soal di atas bisa membantu untuk meningkatkan kemampuan anda dalam menyelesaikan persoalan kombinasi lainnya.
Sifat-sifat yang dimiliki bangun ruang Kerucut adalah sebagai berikut:
Berbentuk limas yang alasnya berupa lingkaran
Memiliki satu titik puncak
Mempunyai satu titik sudut
Jaring-jaring kerucut terdiri dari lingkaran dan segitiga
Memiliki 2 sisi dan 1 rusuk
Salah satu sisinya berbentuk bidang lengkung yang disebut selimut kerucut
Jaring Jaring Kerucut
Kerucut memiliki jaring-jaring yang terdiri dari lingkaran dan segitiga. Perhatikan gambar berikut.
Unsur Unsur Kerucut
Unsur-unsur pembentuk kerucut antara lain sebagai berikut:
Bidang alas: yaitu sisi yang berbentuk lingkaran.
Diameter bidang alas: diameter pada lingkaran alas kerucut.
Jari-jari bidang alas (r): jari-jari lingkaran alas kerucut.
Tinggi kerucut (t): jarak dari titik puncak kerucut ke pusat bidang alas.
Selimut kerucu: Sisi kerucut yang merupakan bidang lengkung.
Apotema atau garis pelukis (s): sisi miring kerucut.
Volume Kerucut
Kerucut bisa disebut sebagai limas dengan alas berbentuk lingkaran, sehingga volume kerucut sama dengan volume limas, yaitu 1/3 kali luas alas kali tinggi.
Karena alas kerucut berbentuk lingkaran, luas alasnya adalah luas lingkaran. Maka, volume kerucut dapat dirumuskan sebagai berikut.
Rumus Volume Kerucut
Volume kerucut = ⅓ × luas alas × tinggi
V = ⅓ πr2t
Keterangan:
V = Volume Kerucut
r = jari-jari lingkaran alas
t = tinggi kerucut
π = 22/7 atau 3,14
Luas Permukaan Kerucut
Permukaan kerucut terdiri dari 2 bidang, yaitu bidang alas berbentuk lingkaran dan bidang lengkung (selimut).
Untuk menghitung luas permukaan kerucut, anda dapat menggunakan rumus berikut.
Rumus Luas Permukaan Kerucut
Luas Permukaan Kerucut = Luas Bidang Alas + Luas Selimut
L = πr2 + πrs
L = π r (r + s)
Keterangan:
r : jari-jari lingkaran alas
s : apotema
π = 22/7 atau 3,14
Contoh Soal Kerucut
Berikut adalah beberapa contoh soal Kerucut beserta pembahasan jawabannya.
Contoh 1
Diketahui tinggi sebuah kerucut 15 cm. Jika diameter alasnya adalah 14 cm, berapakah volume bangun tersebut?
Pembahasan
V = ⅓πr².t
V = 1/3 x 22/7 x 7cm x 7cm x 15cm
V = 770cm³
Contoh 2
Hitung luas permukaan kerucut yang mempunyai jari-jari alas 7 cm dan garis pelukisnya 21 cm?
Pada kesempatan kali ini kita akan membahas beberapa contoh soal pecahan yang dilengkapi dengan jawaban dan pembahasannya. Semoga dapat bermanfaat buat kamu yang lagi belajar materi pecahan.
9. Rudi membawa baskom yang berisi air sebanyak 1 liter. Karena terkena hujan, air di baskom tersebut bertambah sebanayk 2/3 liter. Jika Rudi menggunakan 3/4 liter untuk menyiram lantai maka sisa dari air di baskom adalah … liter
a. 9/12
b. 10/12
c. 11/12
d. 12/12
Pembahasan
Sisa = Air awal + air hujan – air yang disiram ke lantai
10. Rika membeli 50kg beras yang akan disumbangkan dalam bungkus plastik. Setiap bungkus plastik akan diisi 2/5kg beras. Berapa bungkus plastik yang Rika butuhkan? a.50 buah b.75 buah c.125 buah d.250 buah
Pembahasan
Total beras = 50 kg Isi 1 bungkus = 2/5 kg
Banyak bungkus plastik = Total Beras ÷ isi 1 bungkus
Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponennya juga mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.
Pada kesempatan kali ini kita akan membahas contoh soal untuk materi Perbandingan yang sudah disertai dengan kunci jawaban dan pembahasannya. Buat kamu yang belum belajar, bisa baca dulu penjelasannya di Rumus Perbandingan ya.
1. Jika X : Y = 4 : 5, dan diketahui nilai X = 20, maka nilai Y adalah ….
a. 15
b. 20
c. 25
d. 30
Pembahasan
X : Y = 4 : 5
Atau
X/Y = 4/5
20/Y = 4/5
Dengan perkalian silang, diperoleh
20/Y = 4/5
20 × 5 = 4 × Y
100 = 4Y
100 ÷ 4 = Y
Y = 25
Jadi, nilai Y adalah 25.
2. Sebuah pesta dihadiri tamu undangan yang terdiri dari 24 pria dan 30 wanita. Perbandingan antara tamu pria dengan tamu wanita adalah ….
a. 1 : 2
b. 2 : 3
c. 3 : 4
d. 4 : 5
Pembahasan
Misalkan:
Tamu Pria (P) = 24
Tamu Wanita (W) = 30
Maka perbandingan tamu pria dengan tamu wanita adalah:
P : W = 24 : 30 = 24/30
Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan angka 6 diperoleh
24 ÷ 6 = 4
30 ÷ 6 = 5
P : W = 24/30 = 4/5 = 4 : 5
Jadi Perbandingan antara tamu pria dengan tamu wanita adalah 4 : 5.
3. Diketahui total buku yang dimiliki Lisa dan Mitha sebanyak 100 buah. Jika perbandingan buku Lisa dan Mitha adalah 3 : 2. Maka banyaknya buku yang dimiliki masing-masing adalah ….
a. Lisa = 60, Mitha = 40
b. Lisa = 70, Mitha = 30
c. Lisa = 55, Mitha = 45
d. Lisa = 45, Mitha = 55
Pembahasan
Misalkan
L = Banyaknya buku milik Lisa
M = Banyaknya buku milik Mitha
Maka L + M = 100
Karena perbandingannya adalah 3:2, yang berarti totalnya adalah 3+2 = 5.
Maka proporsi buku masing-masing adalah
L = 3/5 dari total banyak buku
L = 3/5 × 100 = 60
M = 2/5 dari total banyak buku
M = 2/5 × 100 = 40
Jadi, banyaknya buku yang dimiliki masing-masing adalah Lisa sebanyak 60 buku dan Mitha sebanyak 40 buku.
4. Diketahui perbandingan tinggi rumah dengan pagar adalah 8 : 6. Jika perbedaan tinggi rumah dengan pagar adalah 4 meter. Maka tinggi masing masing adalah ….
a. Rumah 14m, Pagar 10m
b. Rumah 16m, Pagar 12m
c. Rumah 16m, Pagar 14m
d. Rumah 18m, Pagar 12m
Pembahasan
Misalkan
R = Tinggi Rumah
P = Tinggi Pagar
Maka R – P = 4m
Karena perbandingannya adalah 8:6, yang berarti selisihnya adalah 8-6= 2.
Maka proporsi tinggi masing-masing adalah
R = 8/2 dari perbedaan tinggi
R = 8/2 × 4m = 16m
P = 6/2 dari perbedaan tinggi
P = 6/2 × 4m = 12m
Jadi, tinggi masing masing adalah rumah 16m dan pagar 12m.
5. Diketahui uang Rika dan Ilyas masing-masing memegang uang dengan perbandingan 6 : 7. Jika uang Ilyas adalah Rp 42.000,00. Maka uang Rika adalah ….
a. Rp 49.000,00
b. Rp 42.000,00
c. Rp 36.000,00
d. Rp 30.000,00
Pembahasan
Misalkan:
R = Jumlah uang Rika
I = Jumlah uang Ilyas = Rp 42.000,00
Maka R : I = 6 : 7
R : 42.000 = 6 : 7
R/42.000 = 6/7
R = 6/7 × 42.000
R = 36.000
Jadi jumlah uang milik Rika adalah Rp 36.000,00.
6. Joyo dan Budi masing-masing memiliki uang yang jika digabungkan totalnya menjadi 1 juta rupiah. Perbandingan uang Joyo dan Budi adalah 2:3. Jika Joyo memperoleh tambahan uang 300 ribu, maka berapa perbandingan uang mereka sekarang?
a. 2 : 3
b. 3 : 2
c. 4 : 5
d. 7 : 6
Pembahasan
Misalkan:
J1 = Jumlah uang Joyo Awal
J2 = Jumlah uang Joyo setelah ditambah = J1 + 300.000
B = Jumlah uang Budi
Maka
J1 + B = 1.000.000
Karena perbandingannya adalah 2:3, yang totalnya adalah 2+3 = 5.
Maka proporsi uang masing-masing adalah
J1 = 2/5 dari total uang
J1 = 2/5 × 1.000.000 = 400.000
B = 3/5 dari total uang
B = 3/5 × 1.000.000 = 600.000
J2 = J1 + 300.000 = 400.000 + 300.000 = 700.000
Perbandingan uang sekarang adalah
J2 : B = 700.000 : 600.000 = 7 : 6
Jadi, perbandingan uang Joyo dan Budi sekarang adalah 7 : 6.
7. Ika mempunyai baju sebanyak 3 kali dari banyak baju yang dimiliki Tesya. Jika total baju yang dimiliki keduanya adalah 40 lembar, maka banyaknya baju milik Ika adalah ….
a. 20
b. 25
c. 30
d. 35
Pembahasan
Misalkan:
I = Banyaknya baju milik Ika
T = Banyaknya baju milik Tesya
Maka
I = 3T
I + T = 40
3T + T = 40
4T = 40
T = 40 ÷ 4 = 10
Substitusikan Nilai T untuk mencari nilai I
I = 3 × T = 3 × 10 = 30
Jadi, banyaknya baju milik Ika adalah 30 lembar.
8. Jika dalam 7 hari Bobi menghabiskan uang Rp 210.000,00 untuk membeli makan siangnya, maka dalam jumlah uang yang dihabiskan Bobi untuk makan siang selama 11 hari adalah….
a. Rp 450.000,00
b. Rp 500.000,00
c. Rp 550.000,00
d. Rp 600.000,00
Pembahasan
Misalkan X adalah biaya makan siang selama 11 hari, maka
7 : 9 = 210.000 : X
7/9 = 210.000/X
X = 210.000 × 9 ÷ 7 = 270.000
Jadi, jumlah uang yang dihabiskan Bobi untuk makan siang selama 11 hari adalah 270.000.
9. Lisa membeli 1 pak tissue, kemudian mendapat kembalian sebesar Rp 75.000. Jika kembalian tersebut bernilai 3/4 dari uang yang dibayarkan, maka berapakah nilai uang yang dibayarkan?
a. Rp 100.000,00
b. Rp 125.000,00
c. Rp 150.000,00
d. Rp 75.000,00
Pembahasan
Misalkan
X = Uang yang dibayarkan
Maka
3/4X = 75.000
X = 75.000 × 4 ÷ 3 = 100.000
Jadi, nilai uang yang dibayarkan adalah 100.000.
10. Lidya dan Mutia masing-masing memiliki uang yang jika digabungkan totalnya menjadi 1 juta rupiah. Kemudian Mutia menghabiskan uangnya sejumlah 300 ribu untuk membeli sepatu, sehingga perbandingan uang Lidya dan Mutia menjadi 4:3. Berapakah perbandingan uang Lidya dan Mutia sebelumnya?
a. 4 : 2
b. 5 : 3
c. 6 : 8
d. 7 : 9
Pembahasan
Misalkan:
L = Jumlah uang Lidya
M1 = Jumlah uang Mutia Sebelum beli sepatu
M2 = Jumlah uang Mutia Setelah beli sepatu = M1 – 300.000
Maka
L + M1 = 1.000.000
L : M2 = 4 : 3
Total uang setelah Mutia beli sepatu adalah
L + M2 = L + M1 – 300000 = 1.000.000 – 300.000 = 700.000
Karena L : M2 = 4 : 3, yang totalnya adalah 4+3 = 7.
Maka proporsi uang masing-masing adalah
L = 4/5 dari total uang setelah beli sepatu
L = 4/5 × 700.000 = 560.000
M2 = 3/5 dari total uang setelah beli sepatu
M2 = 3/5 × 700.000 = 420.000
Selanjutnya, mari cari uang Mutia sebelum beli sepatu
M2 = M1 – 300.000
M1 = M2 + 300.000 = 420.000 + 300.000 = 720.000
Kemudian, hitung perbandingan uang sebelum beli sepatu
L + M1 = 560.000 : 720.000 = 7 : 9
Jadi, perbandingan uang Lidya dan Mutia sebelumnya adalah 7 : 9.
Demikian beberapa contoh soal perbandingan beserta jawaban dan pembahasannya. Semoga dapat membantu kamu yang lagi belajar atau guru yang lagi cari referensi. Sekian, dan selamat belajar.
Rumus aritmatika atau bisa di sebut juga dengan barisan aritmatika dibagi menjadi rumus aritmatika bertingkat, sosial, sn, tingkat 2, dan aritmatika suku ke – n.
Pada barisan aritmatika, susunan dari bilangannya dibentuk di antara satu bilangan ke bilangan yang berikutnya yang memiliki perbedaan yang sama.
Namun beda sendiri dapat diartikan sebagai selisih antara 2 suku yang saling berurutan.
Jika suatu barisan mempunyai beda lebih dari nol ( b > 0 ) maka barisan aritmatika disebut dengan barisan naik.
Sebaliknya, jika bedanya kurang dari nol ( b < 0 ) maka barisan aritmatika disebut dengan barisan turunan.
Berikut ini nilai sin, cos, dan tan untuk sudut istimewa:
0o
30o
45o
60o
90o
Sin
0
½
½√2
½√3
1
Cos
1
½√3
½√2
½
0
Tan
0
⅓√3
1
√3
–
Dalam Kuadran
Sudut dalam suatu lingkaran, memiliki rentang 0° – 360°, sudut tersebut dibagi menjadi 4 kuadran, dengan masing-masing kuadran memiliki rentang sebesar 90°.
Kuadran I
Memiliki rentang sudut dari 0° – 90° dengan nilai sinus, cosinus dan tangent positif.
Kuadran II
Memiliki rentang sudut dari 90° – 180° dengan nilai cosinus dan tangen negatif, sinus positif.
Kuadran III
Memiliki rentang sudut dari 180° – 270° dengan nilai sinus dan cosinus negatif, tangen positif.
Kuadran IV
Memiliki rentang sudut dari 270° – 360° dengan nilai sinus dan tangent negatif, cosinus positif.
Perhatikan tabel trigonometri di bawah ini:
Tabel Trigonometri
Kuadran I
Kuadran II
Kuadran III
Kuadran IV
Sin α
Cos (90 – α)
Sin (180 – α)
–Sin (180 + α)
–Sin (360 – α)
Cos α
Sin (90 – α)
–Cos (180 – α)
–Cos (180 + α)
Cos (360 – α)
Tan α
Cotan (90 – α)
–Tan (180 – α)
Tan (180 + α)
–Tan (360 – α)
Cosec α
Sec (90 – α)
Cosec (180 – α)
–Cosec (180 + α)
–Cosec (360 – α)
Sec α
Cosec (90 – α)
–Sec (180 – α)
–Sec (180 + α)
Sec (360 – α)
Cotan α
Cotan (90 – α)
–Cotan (180 – α)
Cotan (180 + α)
–Cotan (360 – α)
Identitas Trigonometri
Dalam segitiga siku-siku, selalu berlaku prinsip phytagoras, yaitu a2+b2 = c2.
Prinsip phytagoras tersebut menjadi asal pembuktian identitas trigonometri.
a2+b2 = c2
bagi kedua ruas dengan c2, diperoleh persamaan baru
Sederhanakan dengan sifat eksponensial menjadi
Subtitusi bagian yang sesuai dengan perbandingan trigonometri pada segitiga, sehingga diperoleh
(sin α)2 + (cos α)2 = 1
atau bisa ditulis menjadi
sin2 α + cos2 α= 1
Dari identitas yang pertama, dapat diperoleh bentuk lainnya, yaitu:
